【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学Ⅰ – 正弦定理と余弦定理

一般的な三角形の表記

一般的に， $\triangle \mathrm{ABC}$ において

辺 $\mathrm{BC}$ ， $\mathrm{CA}$ ， $\mathrm{AB}$ の長さをそれぞれ $a$ ， $b$ ， $c$

$\angle \mathrm{A}$ ， $\angle \mathrm{B}$ ， $\angle \mathrm{C}$ の大きさをそれぞれ $A$ ， $B$ ， $C$

と表す。

【定理】

正弦定理

$\triangle \mathrm{ABC}$ の外接円の半径を $R$ とすると

$\displaystyle \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} =2R$

$\Leftrightarrow$ $a=2R \sin A$ ， $b=2R \sin B$ ， $c=2R \sin C$

$\Leftrightarrow$ $a: \sin A=b: \sin B=c: \sin C$

$\Leftrightarrow$ $a:b:c= \sin A: \sin B: \sin C$

余弦定理

$\triangle \mathrm{ABC}$ について

$a^2=b^2+c^2-2bc \cos A$

$b^2=c^2+a^2-2ca \cos B$

$c^2=a^2+b^2-2ab \cos C$

余弦について解くと

$\cos A= \displaystyle \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

$\cos B= \displaystyle \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$

$\cos C= \displaystyle \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

$|b-c|<a<b+c$

①

$\angle \mathrm{A}$ が鋭角( $A<90^{ \circ }$ ) $\Leftrightarrow$ $a^2<b^2+c^2$

$\angle \mathrm{A}$ が直角( $A=90^{ \circ }$ ) $\Leftrightarrow$ $a^2=b^2+c^2$

$\angle \mathrm{A}$ が鈍角( $A>90^{ \circ }$ ) $\Leftrightarrow$ $a^2>b^2+c^2$

②三角形の2辺の大小関係は，その向かい合う角の大小関係と一致する。

$a<b \Leftrightarrow A<B$

$a=b \Leftrightarrow A=B$

$a>b \Leftrightarrow A>B$