【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学A – 組み合わせ・ ${}_n \mathrm{ C }_k$ の性質

組合せ

異なる $n$ 個から $k$ 個を選ぶ組合せの総数は，

$\displaystyle _{n} C_{k} = \frac{_{k} P_{k}}{k!}$ (通り)

$n$ は自然数， $k$ は0以上の整数とする。 $0 \leqq k \leqq n$ において，

(Ⅰ) $\displaystyle _{n} C_{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

(Ⅱ) $_{n} C_{k} = _{n} C_{n-k}$

$n$ は2以上の整数， $1 \leqq k \leqq n$ において，

$k \cdot _{n} C_{k} =n \cdot _{n-1} C_{k-1}$

証明

$\displaystyle k \cdot _{n} C_{k} =k \cdot \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$

$\displaystyle =k \cdot \frac{n \cdot (n-1)!}{k \cdot (k-1)! \cdot (n-k)!}$

$\displaystyle = \frac{n \cdot (n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}$

$\displaystyle =n \cdot \frac{(n-1)!}{(k-1)! \cdot \{ (n-1)-(k-1) \}!}$

$n \cdot _{n-1} C_{k-1}$

$n$ は2以上の整数， $k$ は $1 \leqq k \leqq n-1$ を満たす整数とするとき，

$_{n} C_{k} = _{n-1} C_{k-1} + _{n-1} C_{k}$

証明

$\displaystyle _{n-1} C_{k-1} + _{n-1} C_{k} = \frac{(n-1)!}{(k-1)! \{ (n-1)-(k-1) \} !} + \frac{(n-1)!}{k! \{ (n-1) -k \} !}$

$\displaystyle = \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} + \frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!}$

$\displaystyle = \frac{k(n-1)!}{k(k-1)!(n-k)!} \frac{(n-1)!(n-k)}{k!(n-k)(n-k-1)!}$

$\displaystyle = \frac{k(n-1)!}{k!(n-k)!} + \frac{(n-1)!(n-k)}{k!(n-k)!}$

$\displaystyle = \frac{(n-1)!(k-n-k)}{k!(n-k)!}$

$\displaystyle = \frac{n(n-1)!}{k!(n-k)!}$

$\displaystyle = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

$= _{n} C_{k}$