【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学Ⅰ – $90^{ \circ } -A$，$180^{ \circ } – \theta $ の三角比

$ 90^{ \circ } -A$ の三角比

$A$ を鋭角とするとき，

[Ⅰ] $\sin (90^{ \circ } -A)= \cos A$ ，

[Ⅱ] $\cos (90^{ \circ } -A)= \sin A$ ，

[Ⅲ] $\displaystyle \tan \left( 90^{ \circ } -A \right) = \frac{1}{ \tan A}$

証明

$A$ が鋭角となる，右図のような直角三角形 $\mathrm{ ABC }$ において，

$B=90^{ \circ } -A$

また，[Ⅰ] $\displaystyle \sin A = \frac{a}{c}$ ，

[Ⅱ] $\displaystyle \cos A = \frac{b}{c}$ ，

[Ⅲ] $\displaystyle \tan A = \frac{a}{b}$ .

このとき，

[Ⅰ] $\displaystyle \sin (90^{ \circ } -A)= \sin B= \frac{b}{c}= \cos A$

[Ⅱ] $\displaystyle \cos (90^{ \circ } -A)= \cos B= \frac{a}{c}= \sin A$

[Ⅲ] $\displaystyle \tan (90^{ \circ } -A)= \tan B= \frac{b}{a}= \frac{1}{ \frac{a}{b}} =\frac{1}{ \tan A}$

$0^{ \circ } \leqq \theta \leqq 180^{ \circ } $ のとき，

[Ⅰ] $\sin (180^{ \circ } – \theta )= \sin \theta$ .

[Ⅱ] $\cos (180^{ \circ } – \theta )=- \cos \theta$ .

[Ⅲ] $\tan (180^{ \circ } – \theta )=- \tan \theta$ .