【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学A – 角の二等分線

スポンサーリンク

角の二等分線(内角)

右図のような三角形 $\mathrm{ABC}$ に対して,角 $\mathrm{A}$ の内角の二等分線と線分 $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm{D}$ とする。このとき,

$\mathrm{BD} : \mathrm{DC} = \mathrm{AB} : \mathrm{AC}$

証明

線分 $\mathrm{AD}$ は, $\angle \mathrm{BAC}$ の二等分線より,

$angle \mathrm{BAC} = \angle \mathrm{DAC}$ …①

また,線分 $\mathrm{AB}$ を点 $\mathrm{A}$ の方に延長した半直線 $\mathrm{BA}$ 上に, $\mathrm{AD} / \! / \mathrm{CC’}$ となるように,点 $\mathrm{C’}$ をとる。線分 $\mathrm{AC}$ について, $\mathrm{AD} / \! / \mathrm{CC’}$ なので,

$\angle \mathrm{DAC} = \angle \mathrm{ACC’}$ …②

$\angle \mathrm{BAD} = \angle \mathrm{AC’C}$ …③

①,②,③より,

$\angle \mathrm{ACC’} = \angle \mathrm{AC’C}$

となるので,三角形 $\mathrm{ACC’}$ は二等辺三角形。よって,

$\mathrm{AC} = \mathrm{AC’}$

また, $\mathrm{AD} / \! / \mathrm{AC’}$ より, $\triangle \mathrm{ABD} \backsim \triangle \mathrm{C’BC}$ となるので,

$\mathrm{BD} : \mathrm{DC} = \mathrm{BA} : \mathrm{AC’} = \mathrm{AB} : \mathrm{AC}$

すなわち,

$\mathrm{BD} : \mathrm{DC} = \mathrm{AB} : \mathrm{AC}$

 

スポンサーリンク

角の二等分線(外角)

右図のような三角形 $\mathrm{ABC}$ に対して,角 $\mathrm{A}$ のような外角の二等分線と直線 $\mathrm{BC}$ の交点を $\mathrm{D}$ とする。このとき,

$\mathrm{BD} : \mathrm{DC} = \mathrm{AB} : \mathrm{AC}$

証明

右図のように,半直線 $\mathrm{BA}$ 上に点 $\mathrm{X}$ をとる。点 $\mathrm{C}$ を通り,線分 $\mathrm{AD}$ に平行な直線と直線 $\mathrm{AB}$ との交点を $\mathrm{C’}$ とおく。このとき,

$\angle \mathrm{DAC} = \angle \mathrm{DAX}$ …①

$\mathrm{AD} / \! / \mathrm{CC’}$ なので,

$\angle \mathrm{DAC} = \angle \mathrm{ACC’}$ …②

また,直線 $\mathrm{AB}$ について,

$\angle \mathrm{CC’A} = \angle \mathrm{DAX}$ …③

①,②,③より,

$\angle \mathrm{ACC’} = \angle \mathrm{AC’C}$

となるので,三角形 $\mathrm{ACC’}$ は二等辺三角形。よって,

$\mathrm{AC} = \mathrm{AC’}$

また, $\mathrm{AD} / \! / \mathrm{C’C}$ より, $\triangle \mathrm{ABD} \backsim \triangle \mathrm{C’BC}$ となるので,

$\mathrm{BD} : \mathrm{DC} = \mathrm{AB} : \mathrm{AC’} = \mathrm{AB} : \mathrm{AC}$

すなわち,

$\mathrm{BD} : \mathrm{DC} = \mathrm{AB} : \mathrm{AC}$

タイトルとURLをコピーしました