【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学Ⅰ – 面積比

[Ⅰ] 〈図１〉のように，点 $\mathrm{ H }$ を点 $\mathrm{ A }$ から線分 $\mathrm{ BC }$ に下ろした垂線の足とする。このとき，

$\begin{eqnarray}  \left\{    \begin{array}{l}     \displaystyle \triangle \mathrm{ ABD } = \frac{1}{2} \cdot \mathrm{ BD } \cdot \mathrm{ AH } = \frac{1}{2} \cdot \frac{m}{m+n} \mathrm{ BC } \cdot \mathrm{ AH } \\     \displaystyle \triangle \mathrm{ ACD } = \frac{1}{2} \cdot \mathrm{ CD } \cdot \mathrm{ AH } = \frac{1}{2} \cdot \frac{n}{m+n} \mathrm{ BC } \cdot \mathrm{ AH }    \end{array}  \right.\end{eqnarray}$

これより，

$\displaystyle \triangle \mathrm{ ABD } : \triangle \mathrm{ ACD } = \frac{m \cdot \mathrm{ BC } \cdot \mathrm{ AH }}{2(m+n)} : \frac{n \cdot \mathrm{ BC } \cdot \mathrm{ AH }}{2(m+n)} =m:n$

[Ⅱ] 〈図２〉のように，点 $\mathrm{ H_{ A } }$ ， $\mathrm{ H_{ E } }$ をそれぞれ点 $\mathrm{ A }$ ， $\mathrm{ E }$ から線分 $\mathrm{ BC }$ に下ろした垂線の足とする。このとき， $\triangle \mathrm{ ADH_{ A } }$ と $\triangle \mathrm{ EDH_{ E } }$ は相似なので，

$\mathrm{ AH_{ A } } : \mathrm{ EH_{ E } } = \mathrm{ AD } : \mathrm{ ED } =s+t:t$

$\triangle \mathrm{ ABC }$ と $\triangle \mathrm{ EBC }$ の底辺を $\mathrm{ BC }$ とみると，面積比は高さの比に等しいので，

$\triangle \mathrm{ ABC } : \triangle \mathrm{ EBC } = \mathrm{ AH_{ A } } : \mathrm{ EH_{ E } } = s+t:t$