【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学Ⅰ – トレミーの定理

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トレミーの定理

円に内接する四角形 $\mathrm{ ABCD }$ に関して,

$\mathrm{ AC } \cdot \mathrm{ BD } = \mathrm{ AB } \cdot \mathrm{ CD } + \mathrm{ AD } \cdot \mathrm{ BC }$

証明

$\mathrm{ AB } =a$ , $\mathrm{ BC } =b$ , $\mathrm{ CD }=c$ , $\mathrm{ DA } =d$ ,$\mathrm{ AC }=x$ , $\mathrm{ BD } =y$ とおく。

三角形 $\mathrm{ ABC }$ , 三角形 $\mathrm{ ACD }$ に余弦定理を用いると,

$x^2=a^2+b^2-2ab \cos B$   …①

$x^2=c^2+d^2-2cd \cos D$   …②

ここで, $D=180^{ \circ } -B$ より,②は次式のようになる。

$x^2=c^2+d^2-2cd \cos (180^{ \circ } -B)$

$=c^2+d^2-2cd(- \cos B)$

$=c^2+d^2+2cd \cos B$   …②’

$① \times cd+ ②’ \times ab$ を計算し, $\cos B$ を消去すると,

$(cd+ab)x^2=cd(a^2+b^2)+ab(c^2+d^2)=a^2cd+b^2cd+abc^2+abd^2$

$=ad(ac+bd)+bc(ac+bd)$

$=(ac+bd)(ad+bc)$   …(*)

同様に三角形 $\mathrm{ ABD }$ ,三角形 $\mathrm{ BCD }$ にも余弦定理を用いると,

$(bc+da)y^2=(ab+cd)(ac+bd)$   …(**)

(*)と(**)の左辺同士,右辺同士の積をとると,

$(cd+ab)(bc+da)x^2y^2=(ac+bd)^2(ad+bc)(ab+cd)$

$x^2y^2=(ac+bd)^2$

$xy=ac+bd$

となるので,

$\mathrm{ AC } \cdot \mathrm{ BD } = \mathrm{ AB } \cdot \mathrm{ CD } + \mathrm{ AD } \cdot \mathrm{ BC }$

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