【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学Ⅰ – 四角形の面積と対角線

右図の凸四角形 $\mathrm{ ABCD }$ について， $\angle \mathrm{ AED } = \alpha$ より， $\angle \mathrm{ AEB } =180^{ \circ } – \alpha$ ， $\angle \mathrm{ BEC } = \alpha$ ， $\angle \mathrm{ CED } =180^{ \circ } – \alpha$ 。

ここで四角形 $\mathrm{ ABCD }$ の面積を $\triangle \mathrm{ AEB }$ ， $\triangle \mathrm{ BEC }$ ， $\triangle \mathrm{ CED }$ ， $\triangle \mathrm{ DEA }$ の4つに分割して $S$ を求める。

$S= \triangle \mathrm{ AEB } + \triangle \mathrm{ BEC } + \triangle \mathrm{ CED } + \triangle \mathrm{ DEA }$

$= \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \mathrm{ AE } \cdot \mathrm{ BE } \cdot \sin (180^{ \circ } – \alpha ) + \frac{1}{2} \cdot \mathrm{ BE } \cdot \mathrm{ CE } \cdot \sin \alpha$

$\displaystyle +\frac{1}{2} \cdot \mathrm{ CE } \cdot \mathrm{ DE } \cdot \sin (180^{ \circ } – \alpha )+ \frac{1}{2} \cdot \mathrm{ DE } \cdot \mathrm{ AE } \cdot \sin \alpha$

$\sin (180^{ \circ } – \alpha ) = \sin \alpha$ であるから，

$\displaystyle S= \frac{1}{2} \cdot \mathrm{ AE } \cdot \mathrm{ BE } \cdot \sin \alpha + \frac{1}{2} \cdot \mathrm{ BE } \cdot \mathrm{ CE } \cdot \sin \alpha+ \frac{1}{2} \cdot \mathrm{ CE } \cdot \mathrm{ DE } \cdot \sin \alpha + \frac{1}{2} \cdot \mathrm{ DE } \cdot \mathrm{ AE } \cdot \sin \alpha$

$\displaystyle =\frac{1}{2} \cdot ( \mathrm{ AE } + \mathrm{ CE } ) \cdot \mathrm{ BE } \cdot \sin \alpha + \frac{1}{2} \cdot ( \mathrm{ AE } + \mathrm{ CE } ) \cdot \mathrm{ DE } \cdot \sin \alpha$

$\displaystyle = \frac{1}{2} \cdot \mathrm{ AC } \cdot \mathrm{ BE } \cdot \sin \alpha + \frac{1}{2} \cdot \mathrm{ AC } \cdot \mathrm{ DE } \cdot \sin \alpha$

$\displaystyle = \frac{1}{2} \cdot \mathrm{ AC } \cdot ( \mathrm{ BE } \cdot  \mathrm{ DE } ) \cdot \sin \alpha$

$\displaystyle = \frac{1}{2} \cdot \mathrm{ AC } \cdot \mathrm{ BD } \cdot \sin \alpha$