【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学B – 正規分布

スポンサーリンク

連続型確率変数

【定義】

連続型確率変数:連続した値を取る確率変数

離散型確率変数:とびとびの値をとる確率変数

分布曲線:連続型確率変数 $X$ に対応させた曲線

確率密度関数:分布曲線 $y=f(x)$ における $f(x)$

連続型確率変数の期待値・分散・標準偏差

連続型確率変数 $X$ のとる値の範囲が $\alpha\leqq X\leqq\beta$ で,その確率密度関数が $f(x)$ であるとき,$X$ の期待値 $m=E(X)$,分散 $V(X)$,標準偏差 $\sigma(X)$ を次の式で定める。

  • $m=E(X)=\int_{\alpha}^{\beta}xf(x)dx$
  • $V(X)=\int_{\alpha}^{\beta}(x-m)^2f(x)dx$
  • $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{\int_{\alpha}^{\beta}(x-m)^2f(x)dx}$

【定理】

確率密度関数の性質

確率密度関数 $f(x)$ について

  • 常に $f(x)\geqq0$
  • $P(a\leqq X\leqq b)=\int_{a}^{b}f(x)dx$
  • $X$ のとる値の範囲が $\alpha\leqq X\leqq\beta$ のとき $\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx=1$

 

スポンサーリンク

正規分布

【定義】

正規分布曲線・正規分布

$m$ が実数,$\sigma$ が正の実数,$e$ が自然対数の底のときの曲線

$y=f(x)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}$

正規分布曲線といい,連続型確率変数 $X$ の確率密度関数が正規分布曲線の関数 $f(x)$ のとき,$X$ の確率分布を正規分布という。

このとき,$X$ は正規分布 $\boldsymbol{N(m,\sigma^2)}$ に従うといい,期待値 $E(X)$ と標準偏差 $\sigma(X)$ は

$E(X)=m$

$\sigma(X)=\sigma$

標準正規分布

正規分布 $N(0,1)$ を標準正規分布という。

確率変数 $X$ が正規分布 $N(m,\sigma^2)$ に従うとき,$Z=\frac{X-m}{\sigma}$ とおくと,確率変数 $Z$ は標準正規分布 $N(0,1)$ に従う。

標準正規分布 $N(0,1)$ に従う確率変数 $Z$ の確率密度関数 $f(z) は

$f(z)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{z^2}{2}}$

また,一般に確率 $P(0\leqq Z\leqq u)$ を $P(0\leqq Z\leqq u)=p(u)$ と表す。

標準化:正規分布を標準正規分布に直すこと

【定理】

正規分布に従う確率変数の分布曲線の性質

確率変数 $X$ が正規分布 $N(m,\sigma^2)$ に従うとき,$X$ の分布曲線 $y=f(x)$ は次のような性質をもつ。

  • 直線 $x=m$ に関して対称であり,$y$ は $x=m$ で最大値を取る。
  • $x$ 軸を漸近線とし,$x$ 軸と分布曲線の間の面積は1である。
  • 標準偏差 $\sigma$ が大きくなると曲線の山は低くなって横に広がる。
  • 標準偏差 $\sigma$ が小さくなると曲線の山は高くなって直線 $x=m$ の周りに集まる。

 

スポンサーリンク

二項分布と正規分布

$q=1-p$ とする

  • 二項分布 $B(n,p)$ に従う確率変数 $X$ は,$n$ が大きいとき,近似的に正規分布 $N(np,npq)$ に従う。
  • 二項分布 $B(n,p)$ に従う確率変数 $X$ に対し,$Z=\frac{X-np}{\sqrt{npq}}$ は,$n$ が大きいとき,近似的に標準正規分布 $N(0,1)$ に従う。
タイトルとURLをコピーしました