【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学B – ベクトルの内積

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ベクトルの内積の定義

【定義】

内積( $\vec{a}\cdot\vec{b}$ ):$\vec{0}$ でない2つのベクトル $\vec{a}$,$\vec{b}$ のなす角を $\theta$ ( $0^{ \circ }\leqq\theta\leqq180^{ \circ }$ )としたとき

$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

内積は実数であり,$\vec{a}=\vec{0}$ または $\vec{b}=\vec{0}$ のときは $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$

また,$\vec{a}=(a_1,a_2)$,$\vec{b}=(b_1,b_2)$ のとき

$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2$

であり,なす角 $\theta$ ( $0^{ \circ }\leqq\theta\leqq180^{ \circ }$ )に着目すると

$\cos\theta=\displaystyle\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2}}$

 

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内積と平行・垂直条件

$\vec{a}\neq\vec{0}$,$\vec{b}\neq\vec{0}$,$\vec{a}=(a_1,a_2)$,$\vec{b}=(b_1,b_2)$ とする

  • 平行条件:$\vec{a}/\!/\vec{b}$ $\Leftrightarrow$ $\vec{a}\cdot\vec{b}=\pm|\vec{a}||\vec{b}|$ $\Leftrightarrow$ $a_1b_2-a_2b_1=0$
  • 垂直条件:$\vec{a}\perp\vec{b}$ $\Leftrightarrow$ $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ $\Leftrightarrow$ $a_1b_1+a_2b_2=0$

 

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内積の性質

【法則】

内積の演算法則

$k$,$p$,$q$,$r$,$s$ を実数とする

  • $\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$
  • $(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}$
  • $\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}$
  • $(k\vec{a})\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot(k\vec{b})=k(\vec{a}\cdot\vec{b})=k\vec{a}\cdot\vec{b}$
  • $(p\vec{a}+q\vec{b})\cdot(r\vec{c}+s\vec{d})=pr\vec{a}\cdot\vec{c}+ps\vec{a}\cdot\vec{d}+qr\vec{b}\cdot\vec{c}+qs\vec{b}\cdot\vec{d}$

ベクトルの大きさと内積

  • $\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2$
  • $|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}$
  • $-|\vec{a}||\vec{b}|\leqq\vec{a}\cdot\vec{b}\leqq|\vec{a}||\vec{b}|$
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