【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学A – 約数と倍数

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約数と倍数

【定義】

2つの整数 $a$,$b$ について,ある整数 $k$ を用いて $a=bk$ と表されるとき,$b$ は $a$ の約数であるといい,$a$ は $b$ の倍数であるという。$a=bk$ のとき,$a=(-b) \cdot (-k)$ でもあるから,$b$ が $a$ の約数ならば $-b$ も $a$ の約数である。

 

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自然数についての倍数の判定法

  • 2の倍数:一の位が偶数
  • 3の倍数:各位の数の和が3の倍数
  • 4の倍数:下2桁が4の倍数
  • 5の倍数:一の位が0または5
  • 6の倍数:2の倍数かつ3の倍数
  • 8の倍数:下3桁が8の倍数
  • 9の倍数:各位の数の和が9の倍数

 

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素数,合成数,素因数分解

【定義】

素数:2以上の自然数で,正の約数が1とその数自身のみである数

合成数:2以上の自然数で,素数でない数

因数:整数がいくつかの整数の積で表されるときのそれぞれの整数

素因数:素数である因数

素因数分解:自然数を素数だけの積の形に表すこと

※合成数は必ず素因数分解できる。

※素因数分解の一意性:1つの合成数の素因数分解は積の順序を考えなければ1通りであること

 

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最大公約数・最小公倍数

【定義】

公約数:2つ以上の整数について,共通する約数

最大公約数:公約数のうち最大のもの

※最大公約数を英語の greatest common divisor の頭文字 gcd で,値を $g$ で表すことがある。

公倍数:2つ以上の整数について,共通する倍数

最小公倍数:正の公倍数のうち最小のもの

※最小公倍数を英語の least common multiple の頭文字 lcm で,値を $l$ で表すことがある。

※公約数は最大公約数の約数,公倍数は最小公倍数の倍数である。

※0でない2つ以上の整数の最大公約数は常に正の数であるから,最大公約数,最小公倍数を求めるときは,正の数に限定して考えればよい。

互いに素:2つの整数の最大公約数が1であること

【定理】

$a$,$b$,$c$ は整数で,$a$,$b$ は互いに素であるとすると,次のことが成り立つ。

  • $ac$ が $b$ の倍数であるとき,$c$ は $b$ の倍数である。
  • $a$ の倍数であり,$b$ の倍数でもある整数は,$ab$ の倍数である。

2つの自然数 $a$,$b$ の最大公約数を $g$,最小公倍数を $l$ とする。$a=ga’$,$b=gb’$ であるとすると,次のことが成り立つ。

  • $a’$,$b’$ は互いに素である。
  • $l=ga’b’$
  • $ab=gl$

 

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整数の割り算における商と余り

整数 $a$ と正の整数 $b$ について $a=bq+r$,$0 \leqq r<b$ となる整数 $q$,$r$ は1通りに定まる。

$a=bq+r$ において,$q$ は $a$ を $b$ で割ったときの商,$r$ は $a$ を $b$ で割ったときの余りという。

$r=0$ のとき $a$ は $b$ で割り切れるという。$r \neq 0$ のとき $a$ は $b$ で割り切れないという。

 

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和,差,積の余り

$a=mq+r$,$b=mq’+r’$ とおくと

  • $a+b$ を $m$ で割った余りは,$r+r’$ を $m$ で割った余りに等しい。
  • $a-b$ を $m$ で割った余りは,$r-r’$ を $m$ で割った余りに等しい。
  • $ab$ を $m$ で割った余りは,$rr’$ を $m$ で割った余りに等しい。
  • $a^k$ を $m$ で割った余りは,$r^k$ を $m$ で割った余りに等しい。

 

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余りによる整数の分類

整数を正の整数 $m$ で割ったときの余りに着目すると,すべての整数は,整数 $k$ を用いて次のいずれかの形に表される。

$\begin{array}{cccc} mk, & mk+1, & ……, & mk+(m-1) \\ 余り0 & 余り1 & …… & 余りm-1 \end{array}$

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