【定理】
チェバの定理
$\triangle \mathrm{ABC}$ の3頂点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$ と，三角形の辺上にもその延長上にもない点 $\mathrm{O}$ を結ぶ直線が，辺 $\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$ またはその延長と交わるとき，交点をそれぞれ $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$ とすると
$\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} \cdot \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} =1$
チェバの定理の逆
$\triangle \mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$ またはその延長上にそれぞれ点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$ があり，この3点のうちの1個または3個が辺上にあるとする。このとき，$\mathrm{BQ}$ と $\mathrm{CR}$ が交わり，かつ
$\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} \cdot \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} =1$
が成り立つならば，3直線 $\mathrm{AP}$，$\mathrm{BQ}$，$\mathrm{CR}$ は1点で交わる。
メネラウスの定理
$\triangle \mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$ またはその延長が，三角形の頂点を通らない1つの直線とそれぞれ点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$ で交わるとき
$\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} \cdot \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} =1$
メネラウスの定理の逆
$\triangle \mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$，$\mathrm{AB}$ またはその延長上に，それぞれ点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$ があり，この3点のうちの1個または3個が辺の延長上にあるとする。このとき
$\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} \cdot \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} =1$
が成り立つならば，3点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$ は1つの直線上にある。
三角形の3辺の長さの性質
1つの三角形において
- 2辺の長さの和は，他の1辺の長さより大きい
- 2辺の長さの差は，他の1辺の長さより小さい。
三角形の成立条件
正の数 $a$，$b$，$c$ に対して
$|b-c|<a<b+c \Leftrightarrow 3辺の長さがa，b，c である三角形が存在する
三角形の辺と角の大小関係
1つの三角形において
- 大きい辺に向かい合う角は，小さい辺に向かい合う各より大きい。
- 大きい角に向かい合う辺は，小さい角に向かい合う辺より大きい。
すなわち $\mathrm{AB} < \mathrm{AC} \Leftrightarrow \angle \mathrm{C} < \angle \mathrm{B}$