【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学Ⅲ – 速度と近似値

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直線上の点の運動

数直線状を運動する点 $\mathrm{P}$ の時刻 $t$ における座標が $t$ の関数 $x=f(t)$ で表されるとき

  • 速度:$v=\displaystyle\frac{dx}{dt}=f'(t)$
  • 速さ:$|v|$
  • 加速度:$\alpha=\displaystyle\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}=f^{\prime\prime}(t)$
  • 加速度の大きさ:$|\alpha|$

 

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平面上の点の運動

坐法平面状を運動する点 $\mathrm{P}$ の時刻 $t$ における座標 $(x,y)$ が $t$ の関数であるとき

  • 速度:$\displaystyle{\vec{v}=\left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right)}$
  • 速さ:$\displaystyle{|\vec{v}|=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}}$
  • 加速度:$\displaystyle{\vec{\alpha}=\left(\frac{d^2x}{dt^2},\frac{d^2y}{dt^2}\right)}$
  • 加速度の大きさ:$\displaystyle{|\vec{\alpha}|=\sqrt{\left(\frac{d^2x}{dt^2}\right)^2+\left(\frac{d^2y}{dt^2}\right)^2}}$

※速度,加速度はベクトルである。一方,速さ,加速度の大きさは $0$ 以上の実数である。

 

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近似式

1次の近似式

  • $h\fallingdotseq 0$ のとき $f(a+h)\fallingdotseq f(a)+f'(a)h$
  • $x\fallingdotseq 0$ のとき $f(x)\fallingdotseq f(0)+f'(0)x$

$y=f(x)$ において,$x$ の増分 $\Delta x$ に対する $y$ の増分を $\Delta y$ とすると

  • $\Delta x\fallingdotseq 0$ のとき $\Delta y\fallingdotseq y’\Delta x$
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