媒介変数表示

【定義】

媒介変数・媒介変数表示

平面上の曲線が1つの変数 tt によって x=f(t)x=f(t)，y=g(t)y=g(t) の形に表されたとき，これをその曲線の媒介変数表示といい，tt を媒介変数(パラメータ)という。

2次曲線の媒介変数表示

放物線 y2=4pxy^2=4px　→　{x=pt2y=2pt\left \{ \begin{array}{l} x=pt^2 \\ y=2pt \end{array} \right.

放物線 x2=4pyx^2=4py　→　{x=2pt y=pt2\left \{ \begin{array}{l} x=2pt \\ y=pt^2 \end{array} \right.

円 x2+y2=a2x^2+y^2=a^2　→　{x=acos⁡θy=asin⁡θ\left \{ \begin{array}{l} x=a\cos\theta \\ y=a\sin\theta \end{array} \right.

円 (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2　→　{x=a+rcos⁡θy=b+rsin⁡θ\left \{ \begin{array}{l} x=a+r\cos\theta \\ y=b+r\sin\theta \end{array} \right.

楕円 x2a2+y2b2=1\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}　→　{x=acos⁡θy=bsin⁡θ\left \{ \begin{array}{l} x=a\cos\theta \\ y=b\sin\theta \end{array} \right.　または　{x=a(1−t2)1+t2y=2bt1+t2\left \{ \begin{array}{l} x=\displaystyle\frac{a(1-t^2)}{1+t^2} \\ y=\displaystyle\frac{2bt}{1+t^2} \end{array} \right.

双曲線 x2a2−y2b2=1\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}　→　{x=acos⁡θy=btan⁡θ\left \{ \begin{array}{l} x=\displaystyle\frac{a}{\cos\theta} \\ y=b\tan\theta \end{array} \right.　または　{x=a(1+t2)1−t2y=2bt1−t2\left \{ \begin{array}{l} x=\displaystyle\frac{a(1+t^2)}{1-t^2} \\ y=\displaystyle\frac{2bt}{1-t^2} \end{array} \right.

双曲線 x2a2−y2b2=−1\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1}　→　{x=atan⁡θx=bcos⁡θ\left \{ \begin{array}{l} x=a\tan\theta \\ x=\displaystyle\frac{b}{\cos\theta} \end{array} \right.　または　{x=2at1−t2y=b(1+t2)1−t2\left \{ \begin{array}{l} x=\displaystyle\frac{2at}{1-t^2} \\ y=\displaystyle\frac{b(1+t^2)}{1-t^2} \end{array} \right.

サイクロイド(円の半径が aa )　→　{x=a(θ−sin⁡θ)y=a(1−cos⁡θ)\left \{ \begin{array}{l} x=a(\theta-\sin\theta) \\ y=a(1-\cos\theta) \end{array} \right.

曲線 x=f(t)x=f(t)，y=g(t)y=g(t) の平行移動

曲線 x=f(t)x=f(t)，y=g(t)y=g(t) を，xx 軸方向に pp，yy 軸方向に qq だけ平行移動した曲線の媒介変数表示は

$\left \{ \begin{array}{l} x=f(t) \\ y=g(t) \end{array} \right.$　→　$\left \{ \begin{array}{l} x=f(t)+p \\ y=g(t)+q \end{array} \right.$