【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学Ⅲ – 2次曲線と直線

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2次曲線と直線の共有点

2次曲線 $F(x,y)=0$ と直線 $ax+by+c=0$ について,2次曲線と直線の共有点の座標は,2式の連立方程式の実数解で与えられる。

2式から1変数を消去して得られる方程式が2次方程式の場合,その判別式を $D$ とすると,

  • $D>0$ $\Leftrightarrow$ 2点で交わる
  • $D=0$ $\Leftrightarrow$ 1点で接する
  • $D<0$ $\Leftrightarrow$ 共有点がない

2式から1変数を消去して得られる方程式が1次方程式の場合,1点で交わる。

 

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2次曲線の接線

曲線上の点 $(x_1,y_1)$ における接線の方程式( $a>0$,$b>0$ )

  • 放物線 $y^2=4px$:$y_1y=2p(x+x_1)$
  • 放物線 $x^2=4py$:$x_1x=2p(y+y_1)$
  • 楕円 $\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$:$\displaystyle{\frac{x_1x}{a^2}+\frac{y_1y}{b^2}=1}$
  • 双曲線 $\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}$:$\displaystyle{\frac{x_1x}{a^2}-\frac{y_1y}{b^2}=1}$
  • 双曲線 $\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1}$:$\displaystyle{\frac{x_1x}{a^2}-\frac{y_1y}{b^2}=-1}$

以上の2次曲線を $x$ 軸方向に $x_0$,$y$ 軸方向に $y_0$ だけ平行移動した曲線上の点 $(x_1,y_1)$ における接線の方程式は,各接線の方程式において

  • $x→x-x_0$
  • $x_1→x_1-x_0$
  • $y→y-y_0$
  • $y_1→y_1-y_0$

と置き換えればよい。

 

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2次曲線と離心率 $e$

【定義】

離心率

楕円・双曲線も,放物線と同じように,定点 $\mathrm{F}$ と定直線 $l$ からの距離の比が一定である点の軌跡として定義できる。

すなわち,点 $\mathrm{P}$ から $l$ に引いた垂線を $\mathrm{PH}$ とするとき,$FP:PH=e:1$ ( $e$ は正の定数)を満たす点 $\mathrm{P}$ の軌跡は,$\mathrm{F}$ を1つの焦点とする2次曲線で,$l$ を準線,$e$ を2次曲線の離心率という。

【定理】

離心率の性質

2次曲線は離心率 $e$ によって分類される。

  • $0<e<1$:楕円
  • $e=1$:放物線
  • $1<e$:双曲線
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