【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学Ⅱ – 定積分

定積分

【定義】

$F'(x)=f(x)$ のとき

$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx=\left[ F(x) \right]_{a}^{b} =F(b)-F(a)$

積分区間：定積分を求める区間

※定積分の値は積分定数 $C$ に無関係に定まるため，定積分の計算は積分定数 $C$ を省略できる。

【定理】

定積分の性質

$k$，$l$ を定数とする。また，復号同順。

定積分の値は積分変数の文字には関係しない：$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx= \int_{a}^{b} f(t) dt$
定数倍：$\displaystyle \int_{a}^{b} kf(x) dx = k \int_{a}^{b} f(x) dx$
和・差：$\displaystyle \int_{a}^{b} \{ f(x) \pm g(x) \} dx = \int_{a}^{b} f(x) dx \pm \int_{a}^{b} g(x) dx$
$\displaystyle \int_{a}^{b} \{ kf(x) \pm lg(x) \} dx = k \int_{a}^{b} f(x) dx \pm l \int_{a}^{b} g(x) dx$
上端・下端の交換：$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx =-\int_{b}^{a} f(x) dx$
$\displaystyle \int_{a}^{a} f(x) dx =0$
積分区間の分割：$\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx$

$a$，$b$ を定数とする

$\displaystyle \int_{a}^{b} f(t) dt$ は $t$ に無関係な定数。
$\displaystyle \int_{a}^{b} f(t) dt=k$ (定数) とおいてよい。
$\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) dt$ は $x$ の関数。
$\displaystyle \frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)$