【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学Ⅱ – 整式の除法,分数式

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整式の割り算

整式 $A$ を整式 $B$ で割るときには,次のことに注意する。

  • $A$ も $B$ も降べきの順に整理してから割り算を行う。
  • 余りの次数が割る式 $B$ の次数より低くなるか,あまりが0になるまで計算を続ける。

【定理】

割り算の基本公式

同じ1つの文字についての2つの整式 $A$,$B$ ( $B \neq 0$ )において,$A$ を $B$ で割ったときの商を $Q$,余りを $R$ とすると

$A=BQ+R$

ただし,$R$ は0か,$B$ より次数の低い整式。

 

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分数式の計算

基本性質

$\displaystyle \frac{A}{B} = \frac{AC}{BC}$ (ただし $C \neq 0$ )

四則計算

  • 加法:$\displaystyle \frac{A}{C} + \frac{B}{C} = \frac{A+B}{C}$
  • 減法:$\displaystyle \frac{A}{C} – \frac{B}{C} = \frac{A-B}{C}$
  • 乗法:$\displaystyle \frac{A}{B} \times \frac{C}{D} = \frac{AC}{BD}$
  • 除法:$\displaystyle \frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \times \frac{D}{C} = \frac{AD}{BC}$
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繁分数式の計算

【定義】

繁分数式:分母や分子に整式を含む式

※$\frac{A}{B} =A \div B$ を利用して,分子を分母で割る,または,$\frac{A}{B} = \frac{A \times C}{B \times C}$ を利用して,分母や分子の分数式を整式にする。

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部分分数分解

【定義】

部分分数分解:1つの分数式を,それ以上簡単にできない2つ以上の分数式の和として表すこと

例)

$\displaystyle \frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{n+1} – \frac{1}{n+2}$

$\displaystyle \frac{2x-1}{x(x-1)} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x-1}$

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