2次関数のグラフと2次不等式の解
2次方程式 $ax^2+bx+c=(x- \alpha )(x- \beta )=0$ の判別式を $D$，$D \geqq 0$ の場合の実数解を $\alpha$，$\beta$ $( \alpha \leqq \beta )$ とすると，$x^2$ の係数が正である2次不等式の解は次のようになる。
| $D$ の符号 | $D>0$ | $D=0$ | $D<0$ |
| $ax^2+bx+c=0$ の実数解 | 異なる2つの実数解 $x= \alpha，\beta$ | 重解 $x= \alpha = \beta$ | 実数解はない |
| $ax^2+bx+c>0$ の解 | $x< \alpha$，$\beta <x$ | $\alpha$ 以外のすべての実数 | すべての実数 |
| $ax^2+bx+c \geqq 0$ の解 | $x \leqq \alpha$，$\beta \leqq x$ | すべての実数 | すべての実数 |
| $ax^2+bx+c<0$ の解 | $\alpha <x< \beta$ | 解はない | 解はない |
| $ax^2+bx+c \leqq 0$ の解 | $\alpha \leqq x \leqq \beta$ | $x= \alpha$ | 解はない |
判別式と不等式
$a \neq 0$，判別式を $D=b^2-4ac$ とすると
常に $ax^2+bx+c>0$ $\Leftrightarrow$ $a>0$ かつ $D<0$
常に $ax^2+bx+c \geqq 0$ $\Leftrightarrow$ $a>0$ かつ $D \leqq 0$
常に $ax^2+bx+c<0$ $\Leftrightarrow$ $a<0$ かつ $D<0$
常に $ax^2+bx+c \leqq 0$ $\Leftrightarrow$ $a<0$ かつ $D \leqq 0$
※すべての実数 $x$ について常に成り立つ不等式を絶対不等式という。
2次関数のグラフと $x$ 軸の共有点の関係
$f(x)=ax^2+bx+c$ $(a \neq 0)$，$D=b^2-4ac$ とする。$y=f(x)$ のグラフと $x$ 軸の共有点の $x$ 座標 $\alpha$，$\beta$ $(\alpha \leqq \beta)$ について，次のことが成り立つ。
$k \neq 0$ のとき
$a>0$ のとき
$k< \alpha \leqq \beta$ $\Leftrightarrow$ $D \geqq 0$，$(軸の位置)>k$，$f(k)>0$
$\alpha \leqq \beta <k$ $\Leftrightarrow$ $D \geqq 0$，$(軸の位置)<k$，$f(k)>0$
$\alpha <k< \beta$ $\Leftrightarrow$ $f(k)<0$
$a<0$ のとき
$k< \alpha \leqq \beta$ $\Leftrightarrow$ $D \geqq 0$，$(軸の位置)>k$，$f(k)<0$
$\alpha \leqq \beta <k$ $\Leftrightarrow$ $D \geqq 0$，$(軸の位置)<k$，$f(k)<0$
$\alpha <k< \beta$ $\Leftrightarrow$ $f(k)>0$
$k=0$ のとき
$a>0$ のとき
$\alpha$，$\beta$ とも正 $\Leftrightarrow$ $D \geqq 0$，$(軸の位置)>k$，$f(k)>0$
$\alpha$，$\beta$ とも負 $\Leftrightarrow$ $D \geqq 0$，$(軸の位置)<k$，$f(k)>0$
$\alpha <0< \beta$ $\Leftrightarrow$ $f(k)<0$
$a<0$ のとき
$\alpha$，$\beta$ とも正 $\Leftrightarrow$ $D \geqq 0$，$(軸の位置)>k$，$f(k)<0$
$\alpha$，$\beta$ とも負 $\Leftrightarrow$ $D \geqq 0$，$(軸の位置)<k$，$f(k)<0$
$\alpha <0< \beta$ $\Leftrightarrow$ $f(k)>0$