【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学Ⅰ – 整式の加法・減法・乗法

整式

【定義】

単項式：数や文字およびそれらを掛け合わせた式

係数：単項式における数の部分

単項式の次数：単項式において掛けた文字の個数

※数だけの単項式の次数は0であり，数0の次数は考えない。

多項式：単項式の和として表される式

項：多項式の各単項式

整式：単項式と多項式

同類項：整式の項の中で，文字の部分が同じである項

※整式に含まれる同類項は1つの項にまとめることができる。

整式の次数：同類項をまとめて整理した整式において，最も次数の高い項の次数

$\boldsymbol{n}$ 次式：次数が $n$ の整式

※文字を2種類以上含む整式では，特定の文字にだけ着目して係数や次数，同類項を考えることがある。

定数項：整式において，着目した文字を含まない項

降べきの順に整理する：整式をある文字について，項の次数が低くなる順に整理すること

昇べきの順に整理する：整式をある文字について，項の次数が高くなる順に整理すること

※一般に，降べきの順に整理することが多い。

計算の基本法則

整式の加法・乗法に用いられる法則

【法則】

整式の加法・減法

• 和 $A+B$ は，$A$ と $B$ の項をすべて加え，同類項があればまとめて整理する。
• 差 $A-B$ は，$A+(-B)$ と考え，$B$ の各項の符号を変えて $A$ に加える。
• 縦書きの計算：下のように，同類項をそろえて縦書きに計算してもよい。このとき，掛けている次数の項を空けておく。

$\begin{array}{rrrr} & 2x^2 & & -3 \\ +) & -x^2 & +5x & +3 \\ \hline & x^2 & +5x \end{array}$

指数法則

【定義】

累乗：同じものをいくつか掛けたもの

$\boldsymbol{a^n}$ ( $\boldsymbol{a}$ の $\boldsymbol{n}$ 乗)：$a$ を $n$ 個掛けたもの

指数：$a^n$ における $n$

【法則】

指数法則

$m$，$n$ を正の整数とする。

• $a^m \times a^n=a^{m+n}$
• $(a^m)^n=a^{mn}$
• $(ab)^n=a^n b^n$

※$(-1)^n= \left \{ \begin{array}{cl} 1 & (nが偶数のとき) \\ -1 & (nが奇数のとき) \end{array} \right.$

展開公式

【定理】

展開公式

• 和の平方：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
• 差の平方：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
• 和と差の積：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
• 1次式の積(1)：$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$
• 1次式の積(2)：$(ax+b)(cx+d)$ $=acx^2+(ad+bc)x+bd$