確率変数と確率分布
【定義】
確率変数：ある試行において，試行の結果によってその値が定まり，各値に対応して確率が定まるような変数
確率分布
一般に，確率変数 $X$ のとりうる値が $x_1,x_2,……,x_n$ であり，それぞれの値をとる確率が $p_1,p_2,……,p_n$ であるとき，次が成り立つ。
- $p_1\geqq0,p_2\geqq0,……,p_n\geqq0$
- $p_1+p_2+……+p_n=1$
また，以下のような確率変数 $X$ のとりうる値とその値をとる確率の対応関係を確率分布または分布といい，確率変数 $X$ はこの分布に従うという。
$\begin{array}{|c|cccc|c|}\hline X&x_1&x_2&……&x_n&計\\\hline P&p_1&p_2&……&p_n&1\\\hline\end{array}$
※確率変数 $X$ が値 $a$ をとる確率を $P(X=a)$ で，$X$ が $a$ 以上 $b$ 以下の値をとる確率を $P(a\leqq X \leqq b)$ で表す。
確率変数の期待値
【定義】
期待値
$\begin{array}{|c|cccc|c|}\hline X&x_1&x_2&……&x_n&計\\\hline P&p_1&p_2&……&p_n&1\\\hline\end{array}$
確率変数 $X$ の分布が上図で与えられているとき，期待値 $E(X)$ は
$E(X)=x_1p_1+x_2p_2+……+x_np_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_kp_k$
※期待値は平均ともいい，$E(X)$ または $m$ で表す。
確率変数の分散と標準偏差
【定義】
分散・標準偏差
$\begin{array}{|c|cccc|c|}\hline X&x_1&x_2&……&x_n&計\\\hline P&p_1&p_2&……&p_n&1\\\hline\end{array}$
確率変数 $X$ の分布が上図で与えられているとき，$X$ の期待値を $m$ とすると，分散 $V(X)$，標準偏差 $\sigma(X)$ は
$\begin{array}{rl}V(X)&=E((X-m)^2)\\ &=(x_1-m)^2p_1+(x_2-m)^2p_2+……+(x_n-m)^2p_n\\ &=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(x_k-m)^2p_k\\ &=E(X^2)-\{E(X)\}^2\end{array}$
$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$
確率変数の演算
$X$ を確率変数，$a$，$b$ を定数とするとき
- 期待値：$E(aX+b)=aE(X)+b$
- 分散：$V(aX+b)=a^2V(X)$
- 標準偏差：$\sigma(aX+b)=|a|\sigma(X)$