【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学B – 位置ベクトル，ベクトルと図形

分点・重心の位置ベクトル

分点の位置ベクトル

2点 $\mathrm{A}(\vec{a})$，$\mathrm{B}(\vec{b})$ を結ぶ線分 $\mathrm{AB}$ を $m:n$ に内分する点 $\mathrm{P}(\vec{p})$ と外分する点 $\mathrm{Q}(\vec{q})$，および，線分 $\mathrm{AB}$ の中点 $\mathrm{R}(\vec{r})$ は $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$，$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$ とすると

• $\vec{p}=\displaystyle\frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$　$\mathrm{P}\displaystyle\left(\frac{na_1+mb_1}{m+n},\frac{na_2+mb_2}{m+n},\frac{na_3+mb_3}{m+n}\right)$
• $\vec{q}=\displaystyle\frac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n}$　$\mathrm{Q}\displaystyle\left(\frac{-na_1+mb_1}{m-n},\frac{-na_2+mb_2}{m-n},\frac{-na_3+mb_3}{m-n}\right)$
• $\vec{r}=\displaystyle\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$　$\mathrm{R}\displaystyle\left(\frac{a_1+b_1}{2},\frac{a_2+b_2}{2},\frac{a_3+b_3}{2}\right)$

三角形の重心の位置ベクトル

3点 $\mathrm{A}(\vec{a})$，$\mathrm{B}(\vec{b})$，$\mathrm{C}(\vec{c})$ を頂点とする $\triangle \mathrm{ABC}$ の重心 $\mathrm{G}(\vec{g})$ は $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$，$\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$，$\vec{c}=(c_1,c_2,c_3)$ とすると

$\vec{g}=\displaystyle\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$　$\mathrm{G}\displaystyle\left(\frac{a_1+b_1+c_1}{3},\frac{a_2+b_2+c_3}{3},\frac{a_3+b_3+c_3}{3}\right)$

共点条件(異なる3本以上の直線が1点で交わるための条件)

点の一致は位置ベクトルの一致から示す。

例)

3点 $\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$ の一致は $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OR}$ から示す。

共線条件(異なる3個以上の点が同じ直線上にあるための条件)

• 点 $\mathrm{C}$ が直線 $\mathrm{AB}$ 上にある $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$ となる実数 $k$ がある
• 点 $\mathrm{P}$ が直線 $\mathrm{AB}$ 上にある $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{OP}=s\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$，$s+t=1$ となる実数 $s$，$t$ がある

共面条件(異なる4個以上の点が同じ平面上にあるための条件)

一直線上にない3点 $\mathrm{A}(\vec{a})$，$\mathrm{B}(\vec{b})$，$\mathrm{C}(\vec{c})$ の定める平面 $\mathrm{ABC}$ がある。

点 $\mathrm{P}(\vec{p})$ が平面 $\mathrm{ABC}$ 上にある $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{CP}=s\overrightarrow{CA}+t\overrightarrow{CB}$ となる実数 $s$，$t$ がある $\Leftrightarrow$ $\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}+u\vec{c}$，$s+t+u=1$ となる実数 $s$，$t$，$u$ がある