【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学A – 円と直線

円の直線

• 円 $\mathrm{O}$ の周上の点 $\mathrm{A}$ を通る直線 $l$ について
  直線 $l$ が点 $\mathrm{A}$ で円 $\mathrm{O}$ に接する $\Leftrightarrow$ $\mathrm{OA} \perp l$
  が成り立つ。
• 円の外部の点から円に引くことができる接線は2本ある。
• 円の外部の点から円に接線を引いたとき，外部の点と接点の間の距離を接線の長さという。

【定理】

円の接線

円の外部の1点 $\mathrm{P}$ からその円に引いた2本の接線の長さは等しい。

接弦定理

円 $\mathrm{O}$ の弦 $\mathrm{AB}$ と，その端点 $\mathrm{A}$ における接線 $\mathrm{AT}$ が作る角 $\angle \mathrm{BAT}$ は，その角の内部に含まれる $\stackrel{ \Large \frown }{\mathrm{AB}}$ に対する円周角 $\angle \mathrm{ACB}$ に等しい。

接弦定理の逆

円 $\mathrm{O}$ の $\stackrel{ \Large \frown }{\mathrm{AB}}$ と半直線 $\mathrm{AT}$ が直線 $\mathrm{AB}$ の同じ側にあって，$\stackrel{ \Large \frown }{\mathrm{AB}}$ に対する円周角 $\angle \mathrm{ACB}$ が $\angle \mathrm{BAT}$ に等しいとき，直線 $\mathrm{AT}$ は点 $\mathrm{A}$ で円 $\mathrm{O}$ に接する。

方べきの定理Ⅰ

円の2つの弦 $\mathrm{AB}$，$\mathrm{CD}$ の交点，またはそれらの延長の交点を $\mathrm{P}$ とすると $\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD}$ が成り立つ。

※円の中心を $\mathrm{O}$，半径を $r$ とすると $\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} =| \mathrm{OP}^2-r^2|$

方べきの定理Ⅱ

円の外部の点 $\mathrm{P}$ から円に引いた接線の接点を $\mathrm{T}$ とする。点 $\mathrm{P}$ を通ってこの円と2点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ で交わる直線を引くと $\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PT}^2$ が成り立つ。

方べきの定理の逆

2つの線分 $\mathrm{AB}$ と $\mathrm{CD}$，または $\mathrm{AB}$ の延長と $\mathrm{CD}$ の延長が点 $\mathrm{P}$ で交わるとき，$\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD}$ が成り立つならば，4点 $\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$ は1つの円周上にある。

2つの円の位置関係と共通接線

【定義】

共通接線：2つの円に接している直線

共通内接線：2つの円が両側にある共通接線

共通外接線：2つの円が同じ側にある共通接線

半径がそれぞれ $r$，$r’$ ( $r>r’$ )である2つの円の中心間の距離を $d$ とすると，2つの円の位置関係は5種類に分けられ，それによって共通接線の本数が定まる。

※2つの円が接するとき，この共有点を接点といい，接点は2つの円の中心を結ぶ直線上にある。