【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学Ⅲ – 【補足】パップス-ギュルダンの定理

ハップス-ギュルダンの定理

【定理】

ハップス-ギュルダンの定理

平面上の曲線で囲まれた図形 $A$ が，この平面上にあって $A$ と交わらない1つの直線を軸として1回転してできる立体の体積は，$A$ の重心が描く円周の長さと $A$ の面積との積に等しい。

例)

円 $x^2+(y-2)^2=1$ を $x$ 軸の周りに1回転してできる回転体(円環体)の体積 $V$

【解答】

ハップス-ギュルダンの定理より

$V=(2\pi\cdot 2)\cdot(\pi\cdot 1^2)=4\pi^2$

※上記の例のように，回転体の体積を積分を使わずに求められる場合がある。高校で学ぶ範囲外になるため答案には使えないが，覚えておくと検算に役立つ。