不定積分とその基本性質
【定義】
不定積分
$F'(x)=f(x)$ のとき
$\displaystyle\int f(x)dx=F(x)+C$ ( $C$ は積分定数)
原始関数：不定積分の定義における $F(x)$
【定理】
不定積分の基本性質
$k$，$l$ を定数とする。
- 定数倍：$\displaystyle\int kf(x)dx=k\displaystyle\int f(x)dx$
- 和：$\displaystyle\int\{f(x)+g(x)\}dx=\displaystyle\int f(x)dx+\displaystyle\int g(x) dx$
- 差：$\displaystyle\int\{f(x)-g(x)\}dx=\displaystyle\int f(x)dx-\displaystyle\int g(x) dx$
- $\displaystyle\int\{kf(x)+lg(x)\}dx=k\displaystyle\int f(x)dx+l\displaystyle\int g(x) dx$
基本的な不定積分
$C$ を積分定数とする。
関数 $\boldsymbol{y=x^\alpha}$
- $\alpha\neq -1$ のとき $\displaystyle\int x^\alpha dx=\displaystyle\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}+C$
- $\alpha=-1$ のとき $\displaystyle\int \displaystyle\frac{1}{x}dx=\log|x|+C$
関数 $\boldsymbol{y=ax+b}$
$F'(x)=f(x)=ax+b$，$a\neq 0$ とする
- $\displaystyle\int f(ax+b)dx=\displaystyle\frac{1}{a}F(ax+b)+C$
三角関数
- $\displaystyle\int\sin xdx=-\cos x+C$
- $\displaystyle\int\cos xdx=\sin x+C$
- $\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\cos^2x}dx=\tan x+C$
- $\displaystyle\int\displaystyle\frac{1}{\sin^2x}dx=-\frac{1}{\tan x}+C$
指数関数
- $\displaystyle\int e^xdx=e^x+C$
- $\displaystyle\int a^xdx=\displaystyle\frac{a^x}{\log a}+C$
置換積分法
- $\displaystyle\int f(x)dx=\displaystyle\int f(g(t))g'(t)dt$ ( $x=g(t)$ )
- $\displaystyle\int f(g(x))g'(x)dx=\displaystyle\int f(u)du$ ( $g(x)=u$ )
- $\displaystyle\int\displaystyle\frac{g'(x)}{g(x)}dx=\log|g(x)|+C$ ( $C$ は積分定数)
部分積分法
- $\displaystyle\int f(x)g'(x)=f(x)g(x)-\displaystyle\int f'(x)g(x)dx$
- $g'(x)=1$ とすると $\displaystyle\int f(x)dx=xf(x)-\displaystyle\int xf'(x)dx$