【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学Ⅲ – 関数の極限

関数の極限

右側極限 $\displaystyle\lim_{x\to a+0}f(x)$：$x>a$ の範囲で，$x\to a$ のときの $f(x)$ の極限

左側極限 $\displaystyle\lim_{x\to a-0}f(x)$：$x<a$ の範囲で，$x\to a$ のときの $f(x)$ の極限

関数の極限値の性質

【定理】

関数の極限値の性質

$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\alpha$，$\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=\beta$ ($\alpha$，$\beta$ は有限な値)，$k$，$l$ は定数とする。

• $\displaystyle\lim_{x\to a}(kf(x)+lg(x))=k\alpha+l\beta$
• 積：$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)g(x)=\alpha\beta$
• 商：$\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\alpha}{\beta}$ ( $\beta\neq 0$ )

指数関数，対数関数の極限

指数関数 $y=a^x$

• $1<a$ のとき $\displaystyle\lim_{x\to\infty}a^x=\infty$，$\displaystyle\lim_{x\to -\infty}a^x=0$
• $0<a<1$ のとき $\displaystyle\lim_{x\to\infty}a^x=0$，$\displaystyle\lim_{x\to -\infty}a^x=\infty$

対数関数 $y=\log_ax$

• $1<a$ のとき $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\log_ax=\infty$，$\displaystyle\lim_{x\to +0}\log_ax=-\infty$
• $0<a<1$ のとき $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\log_ax=-\infty$，$\displaystyle\lim_{x\to +0}\log_ax=\infty$

関数の極限値の大小関係

$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\alpha$，$\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=\beta$ とする。

• $x=a$ の近くで，常に $f(x)\leqq g(x)$ $\Rightarrow$ $\alpha\leqq\beta$
• $x=a$ の近くで，常に $f(x)\leqq h(x)\leqq g(x)$ かつ $\alpha=\beta$ $\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x\to a}h(x)=\alpha$ (はさみうちの原理)

十分大きい $x$ で，常に $f(x)\leqq g(x)$ かつ $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$ $\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty$

三角関数の極限

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin x}=1$

※$x$ の単位はラジアン

関数の連続・不連続

【定義】

$\boldsymbol{x=a}$ で連続

関数 $f(x)$ において，その定義域の $x$ の値 $a$ に対して，極限値 $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)$ が存在し，かつ $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ のとき，$f(x)$ は $\boldsymbol{x=a}$ で連続であるという。

※$x=a$ で連続であるということは，$y=f(x)$ のグラフが $x=a$ で繋がっているということである。

$\boldsymbol{x=a}$ で不連続

関数 $f(x)$ がその定義域の $x$ の値 $a$ で連続でないとき，$f(x)$ は $\boldsymbol{x=a}$ で不連続であるという。

※$x=a$ で連続であるということは，$y=f(x)$ のグラフが $x=a$ で切れているということである。

【定理】

関数 $f(x)$，$g(x)$ が定義域の $x$ の値 $a$ で連続ならば，次の関数も $x=a$ で連続である。ただし，$k$，$l$ は定数。

• $kf(x)+lg(x)$
• $f(x)g(x)$
• $\displaystyle\frac{f(x)}{g(x)}$ ( $g(a)\neq 0$ )

連続関数の性質

【定理】

最大値・最小値の定理

閉区間で連続な関数は，その閉区間で最大値および最小値をとる。

中間値の定理(1)

関数 $f(x)$ が閉区間 $[a,b]$ で連続で，$f(a)\neq f(b)$ ならば，$f(a)$ と $f(b)$ の間の任意の値 $k$ に対して，$f(c)=k$，$a<c<b$ を満たす実数 $c$ が少なくとも1つある。

中間値の定理(2)

関数 $f(x)$ が閉区間 $[a,b]$ で連続で，$f(a)$ と $f(b)$ が異符号ならば，方程式 $f(x)=0$ は $a<x<b$ の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ。(逆は不成立)