【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学Ⅲ – 媒介変数表示

媒介変数表示

【定義】

媒介変数・媒介変数表示

平面上の曲線が1つの変数 $t$ によって $x=f(t)$，$y=g(t)$ の形に表されたとき，これをその曲線の媒介変数表示といい，$t$ を媒介変数(パラメータ)という。

2次曲線の媒介変数表示

放物線 $y^2=4px$　→　$\left \{ \begin{array}{l} x=pt^2 \\ y=2pt \end{array} \right.$

放物線 $x^2=4py$　→　$\left \{ \begin{array}{l} x=2pt \\ y=pt^2 \end{array} \right.$

円 $x^2+y^2=a^2$　→　$\left \{ \begin{array}{l} x=a\cos\theta \\ y=a\sin\theta \end{array} \right.$

円 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$　→　$\left \{ \begin{array}{l} x=a+r\cos\theta \\ y=b+r\sin\theta \end{array} \right.$

楕円 $\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1}$　→　$\left \{ \begin{array}{l} x=a\cos\theta \\ y=b\sin\theta \end{array} \right.$　または　$\left \{ \begin{array}{l} x=\displaystyle\frac{a(1-t^2)}{1+t^2} \\ y=\displaystyle\frac{2bt}{1+t^2} \end{array} \right.$

双曲線 $\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}$　→　$\left \{ \begin{array}{l} x=\displaystyle\frac{a}{\cos\theta} \\ y=b\tan\theta \end{array} \right.$　または　$\left \{ \begin{array}{l} x=\displaystyle\frac{a(1+t^2)}{1-t^2} \\ y=\displaystyle\frac{2bt}{1-t^2} \end{array} \right.$

双曲線 $\displaystyle{\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1}$　→　$\left \{ \begin{array}{l} x=a\tan\theta \\ x=\displaystyle\frac{b}{\cos\theta} \end{array} \right.$　または　$\left \{ \begin{array}{l} x=\displaystyle\frac{2at}{1-t^2} \\ y=\displaystyle\frac{b(1+t^2)}{1-t^2} \end{array} \right.$

サイクロイド(円の半径が $a$ )　→　$\left \{ \begin{array}{l} x=a(\theta-\sin\theta) \\ y=a(1-\cos\theta) \end{array} \right.$

曲線 $x=f(t)$，$y=g(t)$ の平行移動

曲線 $x=f(t)$，$y=g(t)$ を，$x$ 軸方向に $p$，$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した曲線の媒介変数表示は

$\left \{ \begin{array}{l} x=f(t) \\ y=g(t) \end{array} \right.$　→　$\left \{ \begin{array}{l} x=f(t)+p \\ y=g(t)+q \end{array} \right.$