【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学Ⅲ – 複素数と図形

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線分の内分点,外分点

複素数平面上において,2点 $\mathrm{A}(\alpha)$,$\mathrm{B}(\beta)$ を結ぶ線分 $\mathrm{AB}$ を $m:n$ に内分する点を $\mathrm{C}(\gamma)$,$m:n$ に外分する点を $\mathrm{D}(\delta)$ とすると

  • 内分点:$\gamma=\displaystyle\frac{n\alpha+m\beta}{m+n}$
  • 外分点:$\delta=\displaystyle\frac{-n\alpha+m\beta}{m-n}$
  • 線分 $\mathrm{AB}$ の中点:$\displaystyle\frac{\alpha+\beta}{2}$

 

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方程式・不等式の表す図形

複素数平面上の異なる2点を $\mathrm{A}(\alpha)$,$\mathrm{B}(\beta)$ とすると

  • 方程式 $|z-\alpha|=|z-\beta|$ を満たす点 $\mathrm{P}(z)$ 全体は線分 $\mathrm{AB}$ の垂直二等分線
  • 方程式 $|z-\alpha|=r$ ( $r>0$ )を満たす点 $\mathrm{P}(z)$ 全体は点 $\mathrm{A}$ を中心とする半径 $r$ の円
  • 方程式 $|z-\alpha|<r$ ( $r>0$ )を満たす点 $\mathrm{P}(z)$ 全体は点 $\mathrm{A}$ を中心とする半径 $r$ の円の内部
  • 方程式 $|z-\alpha|\leqq r$ ( $r>0$ )を満たす点 $\mathrm{P}(z)$ 全体は点 $\mathrm{A}$ を中心とする半径 $r$ の円の周および内部
  • 方程式 $|z-\alpha|>r$ ( $r>0$ )を満たす点 $\mathrm{P}(z)$ 全体は点 $\mathrm{A}$ を中心とする半径 $r$ の円の外部
  • 方程式 $|z-\alpha|\geqq r$ ( $r>0$ )を満たす点 $\mathrm{P}(z)$ 全体は点 $\mathrm{A}$ を中心とする半径 $r$ の円の周および外部
  • 方程式 $n|z-\alpha|=m|z-\beta|$ ( $m>0$,$n>0$,$m\neq n$ )を満たす点 $\mathrm{P}(z)$ 全体は線分 $\mathrm{AB}$ を $m:n$ の比に内分する点と外分する点を直径の両端とする円(アポロニウスの円)

 

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線分のなす角,平行・垂直

複素数平面上の異なる4点を $\mathrm{A}(\alpha)$,$\mathrm{B}(\beta)$,$\mathrm{C}(\gamma)$,$\mathrm{D}(\delta)$ とし,偏角 $\theta$ は $-\pi<\theta\leqq\pi$ で考えるものとすると

  • $\angle \mathrm{BAC}=\left|\mathrm{arg}\displaystyle\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}\right|$
  • 3点 $\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$ が同じ直線上にある $\Leftrightarrow$ $\displaystyle\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$ が実数 (偏角が $0$,$\pi$ )
  • $\mathrm{AB}\perp\mathrm{AC}$ $\Leftrightarrow$ $\displaystyle\frac{\gamma-\alpha}{\beta-\alpha}$ が純虚数 (偏角が $\pm\frac{\pi}{2}$ )
  • $\mathrm{AB}/\!/\mathrm{CD}$ $\Leftrightarrow$ $\displaystyle\frac{\delta-\gamma}{\beta-\alpha}$ が実数
  • $\mathrm{AB}\perp\mathrm{CD}$ $\Leftrightarrow$ $\displaystyle\frac{\delta-\gamma}{\beta-\alpha}$ が純虚数
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