【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学Ⅱ – 面積

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曲線と $x$ 軸の間の面積

曲線 $y=f(x)$,$x$ 軸,2直線 $x=a$,$x=b$ で囲まれた部分の面積を $S$ とする。

区間 $a \leqq x \leqq b$ において

常に $f(x) \geqq 0$ のとき:$S= \displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx$

常に $f(x) \leqq 0$ のとき:$S= \displaystyle \int_{a}^{b} \{ -f(x) \} dx =-\int_{a}^{b} f(x) dx$

$f(x) \geqq 0$ と $f(x) \leqq 0$ の部分があるとき:$f(x) \geqq 0$ となる区間と $f(x) \leqq 0$ となる区間に分けて求める。区間の切れ目は,方程式 $f(x)=0$ の解のいずれかである。

一般に,全ての場合をまとめて $S= \displaystyle \int_{a}^{b} | f(x) | dx$

 

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2曲線の間の面積

区間 $a \leqq x \leqq b$ で常に $f(x) \geqq g(x)$ とする。

2曲線 $y=f(x)$,$y=g(x)$,および2直線 $x=a$,$x=b$ で囲まれた部分の面積 $S$ は

$S= \displaystyle \int_{a}^{b} \{ f(x)-g(x) \} dx$

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