【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学Ⅰ – 三角比の拡張

座標を用いた三角比の定義

【定義】

座標平面上の原点を中心とした半径 $r$ の円の円周上に点 $\mathrm{P} (x,y)$ をとり，円と $x$ 軸正の向きの交点を点 $\mathrm{A}$，$\angle \mathrm{AOP} = \theta$ ( $0^{ \circ } \leqq \theta \leqq 180^{ \circ }$ )とすると

$\sin \theta = \frac{y}{r}$，$\cos \theta = \frac{x}{r}$，$\tan \theta = \frac{y}{x}$ ( $\theta \neq 90^{ \circ }$ )

※特に，半径1の円(単位円)の場合

$\sin \theta =y$，$\cos \theta =x$，$\tan \theta = \frac{y}{x}$ ( $\theta \neq 90^{ \circ }$ )

三角比の符号

三角比の範囲

$0^{ \circ } \leqq \theta \leqq 180^{ \circ }$ のとき

$0 \leqq \sin \theta \leqq 1$

$-1 \leqq \cos \theta \leqq 1$

$\tan \theta$ はすべての実数値をとる

三角比の角の変換

【定理】

$180^{ \circ } – \theta$ の三角比( $0^{ \circ } \leqq \theta \leqq 180^{ \circ }$ )

$\sin (180^{ \circ } – \theta )= \sin \theta$

$\cos (180^{ \circ } – \theta )=- \cos \theta$

$\tan (180^{ \circ } – \theta )=- \tan \theta$

$90^{ \circ } + \theta$ の三角比( $0^{ \circ } \leqq \theta \leqq 90^{ \circ }$ )

$\sin (90^{ \circ } + \theta )= \cos \theta$

$\cos (90^{ \circ } + \theta )=- \sin \theta$

$\tan (90^{ \circ } + \theta )=- \displaystyle \frac{1}{ \tan \theta}$ ( $\theta \neq 0^{ \circ },90^{ \circ }$ )

三角方程式

【定義】

三角方程式：未知の角の三角比を含む方程式

三角方程式を解く：方程式を満たす角を求めること

三角比の相互関係(2)

【定理】

$0^{ \circ } \leqq \theta \leqq 180^{ \circ }$ のとき( $\tan \theta$ では $\theta \neq 90^{ \circ }$ )

$\tan \theta = \displaystyle \frac{ \sin \theta}{ \cos \theta}$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta =1$

$1+ \tan \theta = \displaystyle \frac{1}{ \cos^2 \theta}$

直線の傾きと正接

傾き $m$ の直線と $x$ 軸の性の向きとのなす角を $\theta$ ( $0^{ \circ } \leqq \theta < 180^{ \circ }$ )とすると $\boldsymbol{m= \tan \theta}$ ( $\theta \neq 90^{ \circ }$ )である。