【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学B – ベクトルの演算

有向線分とベクトル

【定義】

有向線分：向きを指定した線分

始点：有向線分 $\mathrm{AB}$ における点 $\mathrm{A}$

終点：有向線分 $\mathrm{AB}$ における点 $\mathrm{B}$

有向線分の大きさ(長さ)：有向線分 $\mathrm{AB}$ における線分 $\mathrm{AB}$ の長さ

ベクトル：その位置を問題にしないで，向きと大きさだけで定まる量

※有向線分 $\mathrm{AB}$ で表されるベクトルを $\overrightarrow{AB}$，ベクトル $\overrightarrow{AB}$ の大きさを $\left| \overrightarrow{AB} \right|$ と書く。また，1つの文字を用いて $\vec{a}$，$| \vec{a} |$ と表すこともある。

※2つのベクトル $\vec{a}$，$\vec{b}$ が等しい( $\vec{a} = \vec{b}$ ) $\Leftrightarrow$ $\vec{a}$，$\vec{b}$ の向きが同じで大きさが等しい：ベクトルの相等

単位ベクトル：大きさが $1$ であるベクトル

逆ベクトル：大きさが等しく，向きが反対であるベクトル

※$\vec{a}$ に対して，$-\vec{a}$ で表される。

零ベクトル( $\vec{0}$ )：大きさが $0$ のベクトル

※零ベクトルの向きは考えない。

1次独立：2つのベクトル $\vec{a}$，$\vec{b}$ が，$\vec{a}\neq\vec{0}$，$\vec{b}\neq\vec{0}$，$\vec{a}\nparallel\vec{b}$ を満たすこと

ベクトルの演算

$\vec{a}$，$\vec{b}$，実数 $k$，$l$ に対して

• ベクトルの加法：$\vec{a}+\vec{b}$
• ベクトルの減法：$\vec{a}-\vec{b}$
• ベクトルの実数倍：$k \vec{a}$
  ※大きさは $| \vec{a} |$ の $k$ 倍，向きは $k>0$ のときは同じで，$k<0$ のときは反対
  ※ $k=0$ のとき $k \vec{a} =0 \vec{a} = \vec{0}$

【法則】

交換法則

$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$

結合法則

$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$

【定理】

逆ベクトルと零ベクトルの性質

• $\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$
• $\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$

ベクトルの実数倍の性質

• $k(l\vec{a})=(kl)\vec{a}$
• $(k+l)\vec{a}=k\vec{a}+l\vec{a}$
• $k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b}$

ベクトルの平行

【定義】

ベクトルが平行( $\vec{a}/\!/\vec{b}$ )：$\vec{0}$ でない2つのベクトル $\vec{a}$，$\vec{b}$ の向きが同じ，または，反対であること

$\vec{a}\neq\vec{0}$ のとき，$\vec{a}$ と平行な単位ベクトル： $\displaystyle \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$，$\displaystyle -\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$

ベクトルの平行条件

$\vec{a}\neq\vec{0}$，$\vec{b}\neq\vec{0}$ のとき

$\vec{a}/\!/\vec{b}$ $\Leftrightarrow$ $\vec{b}=k\vec{a}$ となる実数 $k$ が存在する

ベクトルの分解

1次独立な2つのベクトル $\vec{a}$，$\vec{b}$ に対して，任意のベクトル $\vec{p}$ は実数 $s$，$t$ を用いて次の形にただ1通りに表される。

$\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}$

このことから，$k$，$l$，$m$，$n$ を実数として次の性質が成り立つ。

$k\vec{a}+l\vec{b}=m\vec{a}+n\vec{b}$ $\Leftrightarrow$ $k=m$ かつ $l=n$

特に $k\vec{a}+l\vec{b}=\vec{0}$ $\Leftrightarrow$ $k=l=0$