平均変化率
【定義】
関数 $y=f(x)$ において，$y$ の変化量 $f(b)-f(a)$ の $x$ の変化量 $b-a$ に対する割合 $\boldsymbol{\frac{f(b)-f(a)}{b-a}}$ ( $a \neq b$ )を，$x$ が $a$ から $b$ まで変化するときの関数 $f(x)$ の平均変化率という。
極限値と微分係数
極限値
関数 $f(x)$ において，$x$ が $a$ と異なる値をとりながら $a$ に限りなく近づくとき，$f(x)$ がある一定の値 $\alpha$ に限りなく近づく場合，この $\alpha$ を $f(x)$ の極限値という。
$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)= \alpha$
$x \to a$ のとき $f(x) \to \alpha$
微分係数
関数 $f(x)$ の $x=a$ における微分係数(変化率) $f'(a)$ は
$f'(a)= \displaystyle \lim_{b \to a} \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
$f'(a)= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$
微分係数の図形的な意味
曲線 $y=f(x)$ 上の点 $\mathrm{A} (a,f(a))$ における曲線の接線の傾きは，関数 $f(x)$ の $x=a$ における微分係数 $f'(a)$ で表される。
導関数
【定義】
導関数
関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ は
$f'(x)= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$
※導関数の表記は，$f'(x)$，$y’$，$\frac{dy}{dx}$，$\frac{d}{dx} f(x)$ 等を用いる。
$\boldsymbol{x}$ の増分( $\boldsymbol{\Delta x}$ )：導関数の定義における $h$
$\boldsymbol{y}$ の増分( $\boldsymbol{\Delta y}$ )：導関数の定義における $f(x+h)-f(x)$
微分する：関数 $f(x)$ から導関数 $f'(x)$ を求めること
関数 $y=x^n$ の導関数は $y’=nx^{n-1}$ ( $n$ は正の整数)
定数関数 $y=c$ の導関数は $y’=0$
導関数の公式
【定理】
導関数の公式
$k$，$l$ を定数とする
- 定数倍：$y=kf(x)$ $\Rightarrow$ $y’=kf'(x)$
- 和：$y=f(x)+g(x)$ $\Rightarrow$ $y’=f'(x)+g'(x)$
- 差：$y=f(x)-g(x)$ $\Rightarrow$ $y’=f'(x)-g'(x)$
- $y=kf(x)+lg(x)$ $\Rightarrow$ $y’=kf'(x)+lg'(x)$
接線の方程式
曲線 $y=f(x)$ 上の点 $\mathrm{A} (a,f(a))$ における接線について
- 接線の傾き：$f(a)$
- 接線の方程式：$y-f(a)=f'(a)(x-a)$
$\mathrm{A}$ をこの接線の接点という。