【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学Ⅰ – 【補足】対称式・交代式

対称式

【定義】

$a$ と $b$ の対称式：$a$，$b$ に関する式で，文字 $a$ と $b$ を入れ替えても，元の式と同じ式になるもの

$a$，$b$，$c$ の対称式：$a$，$b$，$c$ に関する式で，どの2つの文字を入れ替えても，元の式と同じ式になるもの

$a$，$b$ の対称式の基本対称式：$a+b$，$ab$

$a$，$b$，$c$ の対称式の基本対称式：$a+b+c$，$ab+bc+ca$，$abc$

対称式と基本対称式

【定理】

全ての対象式は基本対象式で表すことができる。

例)

$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$

$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$

$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)$

対称式と因数

【定理】

$a$，$b$，$c$ の対称式が $a+b$，$b+c$，$c+a$ のうち1つを因数にもてば，他の2つも因数にもつ。

※$a$，$b$，$c$ の対称式がこの3つを必ず因数にもつわけではない。

例)

$a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2-4abc=(a+b)(b+c)(c+a)$

交代式

【定義】

$a$ と $b$ の交代式：$a$，$b$ に関する式で，文字 $a$ と $b$ を入れ替えると，元の式と符号だけが変わる(元の式の $(-1)$ 倍になる)もの

$a$，$b$，$c$ の交代式：$a$，$b$，$c$ に関する式で，どの2つの文字を入れ替えても，元の式と符号だけが変わるもの

交代式と因数

【定理】

$a$，$b$ の交代式は，必ず $a-b$ を因数にもつ。

例)

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

$a$，$b$，$c$ の交代式は，必ず $(a-b)(b-c)(c-a)$ を因数にもつ。

例)

$a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)=(a-b)(b-c)(c-a)$