速度と道のり
直線運動
数直線状を運動する点 $\mathrm{P}$ の速度 $v$ を時刻 $t$ の関数と見て $v=f(t)$ とする。また $t=a$ のときの $\mathrm{P}$ の座標を $k$ とする。
- $t=b$ における $\mathrm{P}$ の座標 $x$ は $x=k+\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)dt$
- $t=a$ から $t=b$ までの $\mathrm{P}$ の位置の変化量 $s$ は $s=\displaystyle\int_{a}^{b}f(t)dt$
- $t=a$ から $t=b$ までの $\mathrm{P}$ の道のり $l$ は $l=\displaystyle\int_{a}^{b}|f(t)|dt$
平面運動
点 $\mathrm{P}$ が平面上の曲線 $y=f(t)$，$y=g(t)$ ( $t$ は時刻)上を動くとき$t=\alpha$ から $t=\beta$ までの間に点 $\mathrm{P}$ が移動した道のり $l$ は
- $\displaystyle{l=\int_{\alpha}^{\beta}|\vec{v}|dt=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt}$
曲線の長さ
媒介変数
曲線 $x=f(t)$，$y=g(t)$ ( $\alpha\leqq x\leqq\beta$ )の長さ $L$ は
- $\displaystyle{L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\{f'(t)\}^2+\{g'(t)\}^2}dt}$
直交座標
- $\displaystyle{L=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx=\int_{a}^{b}\sqrt{1+\{f'(x)\}^2}dx}$