立体の体積
ある立体の，$x=a$，$x=b$ ( $a<b$ )における $x$ 軸に垂直な2つの平面の間に挟まれた部分の体積を $V$ とする。
このとき，$a\leqq x\leqq b$ として，$x$ 軸に垂直で，$x$ 軸との交点の座標が $x$ である平面でこの立体を切ったときの断面積を $S(x)$ とすると
$V=\displaystyle\int_{a}^{b}S(x)dx$ ( $a<b$ )
回転体の体積( $x$ 軸の周り)
曲線 $y=f(x)$ と $x$ 軸と2直線 $x=a$，$x=b$ ( $a<b$ )で囲まれた部分を，$x$ 軸の周りに1回転してできる回転体の体積 $V$ は
$\displaystyle{V=\pi\int_{a}^{b}\{f(x)\}^2dx=\pi\int_{a}^{b}y^2dx}$ ( $a<b$ )
回転体の体積( $y$ 軸の周り)
曲線 $x=g(y)$ と $y$ 軸と2直線 $y=a$，$y=b$ ( $a<b$ )で囲まれた部分を，$y$ 軸の周りに1回転してできる回転体の体積 $V$ は
$\displaystyle{V=\pi\int_{a}^{b}\{g(y)\}^2dy=\pi\int_{a}^{b}x^2dx}$ ( $a<b$ )
バウムクーヘン分割による体積
区間 $[a,b]$ において，$f(x)\geqq 0$ であるとき，曲線 $y=f(x)$，$x$ 軸，直線 $x=a$，$x=b$ で囲まれた部分を $y$ 軸の周りに1回転してできる回転体の体積 $V$ は
$V=2\pi\displaystyle\int_{a}^{b}xf(x)dx$