【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学Ⅲ – 【補足】ロピタルの定理

ロピタルの定理

【定理】

ロピタルの定理

関数 $f(x)$，$g(x)$ が $x=a$ を含む区間で連続，$a$ 以外では微分可能で $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=0$，$g'(x)\neq 0$ のとき

$\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}=l$ (有限確定値) $\Rightarrow$ $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=l$

※条件 $f(a)=g(a)=0$ の代わりに $\displaystyle\lim_{x\to a}|f(x)|=\infty$，$\displaystyle\lim_{x\to a}|g(x)|=\infty$ としても，上の関係は成り立つ。また，$x=a$ で微分可能であっても成り立つ。

ロピタルの定理の利用法

$x\to a+0$，$x\to a-0$ の場合も $f(x)$，$g(x)$ の微分可能な範囲を適当に変更して同様なことが成り立つ。

ロピタルの定理は利用価値が高い定理であるが，高校で学習する内容に含まれていないので，答案としてではなく検算として役立てるとよい。