【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学Ⅲ – 接線と法線，平均値の定理

接線と法線の方程式

曲線 $y=f(x)$ 上の点 $\mathrm{A}(a,f(a))$ における

接線の方程式

$y-f(a)=f'(a)(x-a)$

法線の方程式

$f'(a)\neq 0$ のとき $y-f(a)=-\displaystyle\frac{1}{f'(a)}(x-a)$ 

$f'(a)=0$ のとき $x=a$

$F(x,y)=0$ や媒介変数で表される曲線の接線

曲線の方程式が $F(x,y)=0$ や $t$ を媒介変数として $x=f(t)$，$y=g(t)$ で表されるとき，曲線上の点 $(x_1,y_1)$ における接線の方程式は

$y-y_1=m(x-x_1)$

ただし，$m$ は導関数 $\frac{dy}{dx}$ に $x=x_1$，$y=y_1$ を代入して得られる値である。

平均値の定理

【定理】

平均値の定理(1)

関数 $f(x)$ が閉区間 $[a,b]$ で連続で，開区間 $(a,b)$ で微分可能ならば

$\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$

$a<c<b$

を満たす実数 $c$ が存在する。

平均値の定理(2)

関数 $f(x)$ が閉区間 $[a,a+h]$ で連続で，開区間 $(a,a+h)$ で微分可能ならば

$f(a+h)=f(a)+hf'(a+\theta h)$

$0<\theta<1$

を満たす実数 $\theta$ が存在する。