逆関数とグラフ
【定義】
逆関数
関数 $y=f(x)$ に対して，$y=f(x)$ $\Leftrightarrow$ $x=g(x)$ のとき，$y=g(x)$ を $y=f(x)$ の逆関数といい，$y=f^{-1}(x)$ で表す。
【定理】
逆関数の性質
- $f(x)$ と $f^{-1}(x)$ とでは，定義域と値域が入れ替わる。
- 関数 $f(x)$ が逆関数 $f^{-1}(x)$ をもつとき
$b=f(a)$ $\Leftrightarrow$ $a=f^{-1}(b)$ - $y=f(x)$ と $y=f^{-1}(x)$ のグラフは直線 $y=x$ に関して対称である。
合成関数
【定義】
合成関数
2つの関数 $y=f(x)$，$z=g(y)$ があり，$f(x)$ の値域が $g(y)$ の定義域に含まれているとき，$g(y)$ に $y=f(x)$ を代入して得られる関数 $z=g(f(x))$ を，$f(x)$ と $g(y)$ の合成関数といい，記号で $(g\circ f)(x)$ と表す。すなわち $(g\circ f)(x)=g(f(x))$
※一般に，合成関数 $(g\circ f)(x)$ と $(f\circ g)(x)$ は一致しない。