【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学B – ベクトル方程式

直線のベクトル方程式

直線上の任意の点 $\mathrm{P}(\vec{p})$ について，$s$，$t$ を実数の変数とする。

1定点と方向ベクトル

定点 $\mathrm{A}(\vec{a})$ を通り，$\vec{0}$ でないベクトル $\vec{d}$ に平行な直線のベクトル方程式

$\vec{p}=\vec{a}+t\vec{d}$

※$\vec{d}$ を直線の方向ベクトル，$t$ を媒介変数という。

媒介変数表示

$\vec{p}=(x,y)$，$\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec{d}=(l,m)$ とすると

$\left \{ \begin{array}{l}x=x_1+lt\\y=y_1+mt \end{array} \right.$ 

2定点

異なる2点 $\mathrm{A}(\vec{a})$，$\mathrm{B}(\vec{b})$ を通る直線のベクトル方程式

$\vec{p}=(1-t)\vec{a}+t\vec{b}$

$\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}$ ( $s+t=1$ )

1定点と法線ベクトル

定点 $\mathrm{A}(\vec{a})$ を通り，$\vec{0}$ でないベクトル $\vec{n}$ に垂直な直線のベクトル方程式

$\vec{n}\cdot(\vec{p}-\vec{a})=0$

※$\vec{n}$ を直線の法線ベクトルという。

※法線ベクトルについて次のことが成り立つ

• 点 $\mathrm{A}(x_1,y_1)$ を通り，$\vec{n}=(a,b)$ が法線ベクトルである直線の方程式は $a(x-x_1)+b(y-y_1)=0$
• 直線 $ax+by+c=0$ において，$\vec{n}=(a,b)$ はその法線ベクトルである

円のベクトル方程式

$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$，$\overrightarrow{OC}=\vec{c}$，$\overrightarrow{OP}=\vec{p}$ とし，$\mathrm{P}$ は円周上の任意の点とする。

中心と半径

中心 $\mathrm{C}$，半径 $r$ の円のベクトル方程式

$|\vec{p}-\vec{c}|=r$

$(\vec{p}-\vec{c})\cdot(\vec{p}-\vec{c})=r^2$

直径

線分 $\mathrm{AB}$ を直径とする円のベクトル方程式

$(\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{p}-\vec{b})=0$

平面上の点の存在範囲

$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$，$\overrightarrow{OP}=\vec{p}$ とし，$\vec{a}$，$\vec{b}$ が1次独立で $\vec{p}=s\vec{a}+t\vec{b}$ ( $s$，$t$ は実数の変数) とする。

• $s+t=1$ $\Leftrightarrow$ 直線 $\mathrm{AB}$
• $s+t=1$，$s\geqq0$，$t\geqq0$ $\Leftrightarrow$ 線分 $\mathrm{AB}$
• $s+t\leqq1$，$s\geqq0$，$t\geqq0$ $\Leftrightarrow$ $\triangle \mathrm{OAB}$ の周および内部
• $0 \leqq s \leqq 1$，$0 \leqq t \leqq 1$ $\Leftrightarrow$ 平行四辺形 $\mathrm{OACB}$ の周および内部