【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学Ⅰ – 平均値・仮平均法

平均値

$n$ 個の値からなるデータ $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，・・・， $x_{n}$ の平均値を $\overline{x}$ とすると，

$\displaystyle \overline{x} = \frac{x_{1} + x_{2}+ ・・・ + x_{n}}{n}$

$n$ 個の値からなるデータ $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，・・・， $x_{n}$ の平均値を $m$ と仮定する（仮定した値を仮平均という）。このとき，平均値 $\overline{x}$ は，仮平均 $m$ を用いて，次のように表せる。

$\displaystyle \overline{x} =m+ \frac{(x_{1} -m)+(x_{2} -m)+(x_{3} -m)+ ・・・ +(x_{n} -m)}{n}$

証明

$n$ 個の値からなるデータ $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，・・・， $x_{n}$ の平均値を $\overline{x}$ ，仮平均を $m$ とすると， $n$ 個の値との差は，

$x_{1} -m$ ， $x_{2} -m$ ， $x_{3} -m$ ，・・・， $x_{n} -m$

となり，平均値 $\overline{x}$ は，

$\displaystyle m+\frac{(x_{1} -m)+(x_{2} -m)+(x_{3} -m)+・・・+(x_{n} -m)}{n}$

$\displaystyle =m+ \frac{x_{1} +x_{2} +・・・+x_{n} -nm}{n}$

$\displaystyle = \frac{x_{1} + x_{2} +・・・+x_{n}}{n}$

$= \overline{x}$