【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学B – ベクトルの内積

ベクトルの内積の定義

【定義】

内積( $\vec{a}\cdot\vec{b}$ )：$\vec{0}$ でない2つのベクトル $\vec{a}$，$\vec{b}$ のなす角を $\theta$ ( $0^{ \circ }\leqq\theta\leqq180^{ \circ }$ )としたとき

$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

内積は実数であり，$\vec{a}=\vec{0}$ または $\vec{b}=\vec{0}$ のときは $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$

また，$\vec{a}=(a_1,a_2)$，$\vec{b}=(b_1,b_2)$ のとき

$\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2$

であり，なす角 $\theta$ ( $0^{ \circ }\leqq\theta\leqq180^{ \circ }$ )に着目すると

$\cos\theta=\displaystyle\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2}}$

$\vec{a}\neq\vec{0}$，$\vec{b}\neq\vec{0}$，$\vec{a}=(a_1,a_2)$，$\vec{b}=(b_1,b_2)$ とする

平行条件：$\vec{a}/\!/\vec{b}$ $\Leftrightarrow$ $\vec{a}\cdot\vec{b}=\pm|\vec{a}||\vec{b}|$ $\Leftrightarrow$ $a_1b_2-a_2b_1=0$
垂直条件：$\vec{a}\perp\vec{b}$ $\Leftrightarrow$ $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ $\Leftrightarrow$ $a_1b_1+a_2b_2=0$

【法則】

内積の演算法則

$k$，$p$，$q$，$r$，$s$ を実数とする

$\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}$
$(\vec{a}+\vec{b})\cdot\vec{c}=\vec{a}\cdot\vec{c}+\vec{b}\cdot\vec{c}$
$\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}$
$(k\vec{a})\cdot\vec{b}=\vec{a}\cdot(k\vec{b})=k(\vec{a}\cdot\vec{b})=k\vec{a}\cdot\vec{b}$
$(p\vec{a}+q\vec{b})\cdot(r\vec{c}+s\vec{d})=pr\vec{a}\cdot\vec{c}+ps\vec{a}\cdot\vec{d}+qr\vec{b}\cdot\vec{c}+qs\vec{b}\cdot\vec{d}$

ベクトルの大きさと内積