【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学A – 円と直線

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円の直線

  • 円 $\mathrm{O}$ の周上の点 $\mathrm{A}$ を通る直線 $l$ について
    直線 $l$ が点 $\mathrm{A}$ で円 $\mathrm{O}$ に接する $\Leftrightarrow$ $\mathrm{OA} \perp l$
    が成り立つ。
  • 円の外部の点から円に引くことができる接線は2本ある。
  • 円の外部の点から円に接線を引いたとき,外部の点と接点の間の距離を接線の長さという。

【定理】

円の接線

円の外部の1点 $\mathrm{P}$ からその円に引いた2本の接線の長さは等しい。

 

接弦定理

円 $\mathrm{O}$ の弦 $\mathrm{AB}$ と,その端点 $\mathrm{A}$ における接線 $\mathrm{AT}$ が作る角 $\angle \mathrm{BAT}$ は,その角の内部に含まれる $\stackrel{ \Large \frown }{\mathrm{AB}}$ に対する円周角 $\angle \mathrm{ACB}$ に等しい。

 

接弦定理の逆

円 $\mathrm{O}$ の $\stackrel{ \Large \frown }{\mathrm{AB}}$ と半直線 $\mathrm{AT}$ が直線 $\mathrm{AB}$ の同じ側にあって,$\stackrel{ \Large \frown }{\mathrm{AB}}$ に対する円周角 $\angle \mathrm{ACB}$ が $\angle \mathrm{BAT}$ に等しいとき,直線 $\mathrm{AT}$ は点 $\mathrm{A}$ で円 $\mathrm{O}$ に接する。

 

方べきの定理Ⅰ

円の2つの弦 $\mathrm{AB}$,$\mathrm{CD}$ の交点,またはそれらの延長の交点を $\mathrm{P}$ とすると $\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD}$ が成り立つ。

※円の中心を $\mathrm{O}$,半径を $r$ とすると $\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} =| \mathrm{OP}^2-r^2|$

 

方べきの定理Ⅱ

円の外部の点 $\mathrm{P}$ から円に引いた接線の接点を $\mathrm{T}$ とする。点 $\mathrm{P}$ を通ってこの円と2点 $\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$ で交わる直線を引くと $\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PT}^2$ が成り立つ。

 

方べきの定理の逆

2つの線分 $\mathrm{AB}$ と $\mathrm{CD}$,または $\mathrm{AB}$ の延長と $\mathrm{CD}$ の延長が点 $\mathrm{P}$ で交わるとき,$\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB} = \mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD}$ が成り立つならば,4点 $\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$ は1つの円周上にある。

 

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2つの円の位置関係と共通接線

【定義】

共通接線:2つの円に接している直線

共通内接線:2つの円が両側にある共通接線

共通外接線:2つの円が同じ側にある共通接線

半径がそれぞれ $r$,$r’$ ( $r>r’$ )である2つの円の中心間の距離を $d$ とすると,2つの円の位置関係は5種類に分けられ,それによって共通接線の本数が定まる。

位置関係一方が他方の内部にある内接する2点で交わる外接する一方が他方の外部にある
条件$d<r-r’$$d=r-r’$$r-r'<d<r+r’$$d=r+r’$$d>r+r’$
共通内接線の本数00012
共通外接線の本数01222
共通接線の本数01234

※2つの円が接するとき,この共有点を接点といい,接点は2つの円の中心を結ぶ直線上にある。

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