【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学Ⅱ – 恒等式

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恒等式の定義

【定義】

恒等式:含まれている各文字にどのような値を代入しても,その両辺の式の値が存在する限り,等号が常に成り立つ等式

 

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恒等式の性質

【定理】

恒等式の性質

$P$,$Q$ が $x$ についての整式であるとき

$P=0$ が恒等式 $\Leftrightarrow$ $P$ の各項の係数は全て0

$P=Q$ が恒等式 $\Leftrightarrow$ $P$ と $Q$ の次数は等しく,両辺の同じ次数の項の係数はそれぞれ等しい。

 

$P$,$Q$ が $x$ についての $n$ 次以下の整式であるとき

等式 $P=Q$ が $(n+1)$ 個の異なる $x$ の値に対して成り立つ $\Leftrightarrow$ 等式 $P=Q$ は $x$ についての恒等式

 

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未定係数法

恒等式の未知の係数(未定係数)を求めるには,恒等式の性質を利用した2通りの方法がある。

  • 係数比較法:両辺の同じ次数の項の係数がそれぞれ等しい。
  • 数値代入法:両辺に適当な数字をいくつか代入して,連立方程式などを解く。数値代入法を用いた場合,逆の確認が必要となる。
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