【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学A – 互除法と整数の性質の活用

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ユークリッドの互除法

割り算と最大公約数

自然数 $a$,$b$ について,$a$ を $b$ で割ったときの余りを $r$ とすると,$a$ と $b$ の最大公約数は,$b$ と $r$ の最大公約数に等しい。

ユークリッドの互除法

整数 $a$,$b$ の最大公約数を求めるには,次の手順を繰り返せば良い。この方法をユークリッドの互除法,または,単に互除法という。

  1. $a$ を $b$ で割ったときの余りを $r$ とする。
  2. $r=0$ ならば,$b$ が $a$ と $b$ の最大公約数である。
    $r>0$ ならば,$a$ を $b$ で,$b$ を $r$ でおきかえて,1に戻る。

この手順を繰り返すと,余り $r$ が小さくなり,$r$ が0になって必ず終了する。

 

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1次不定方程式

【定理】

互いに素である整数の性質

2つの整数 $a$,$b$ が互いに素であるとき,整数 $c$ について $ax+by=c$ を満たす整数 $x$,$y$ が存在する。

【定義】

$a$,$b$,$c$ は整数の定数で,$a \neq 0$,$b \neq 0$ とする。$x$,$y$ の1次方程式 $ax+by=c$ を成り立たせる整数 $x$,$y$ の組を,この方程式の整数解という。この方程式の整数解を求めることを,1次不定方程式を解くという。

※2つの整数 $a$,$b$ が互いに素であるとき,方程式 $ax+by=c$ の整数解の1つを $x=p$,$y=q$ とすると,全ての整数解は $x=bk+p$,$y=-ak+q$ ( $k$ は整数) と表される。

 

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分数と小数

【定義】

有限小数:小数第何位かで終わる小数

無限小数:小数部分が無限に続く小数

循環小数:無限小数のうち,ある位以下では数字の同じ並びが繰り返される小数

既約分数:分母と分子が整数で,分母と分子が互いに素である分数

※ $m$ を整数,$n$ を自然数とすると,分数 $\frac{m}{n}$ は整数,有限小数,循環小数のいずれかで表される。

※整数でない既約分数 $\frac{m}{n}$ について次のことが成り立つ。

分母 $n$ の素因数は2,5だけからなる $\Leftrightarrow$ $\frac{m}{n}$ は有限小数で表される

分母 $n$ の素因数に2,5以外のものがある $\Leftrightarrow$ $\frac{m}{n}$ は循環小数で表される

 

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$n$ 進法

【定義】

:位取りの基礎となる数

$\boldsymbol{n}$ 進法:底を $n$ として数を表す記数法( $n$ は2以上の整数)

$\boldsymbol{n}$ 進数:$n$ 進法で表された数

※$n$ 進数では,その数の右下に${}_{(n)}$ と書く。(10進数は省略する)

※$n$ 進数の各位の数字は0以上 $n-1$ 以下の整数。

 

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$n$ 進法の位

……,$n^3$ の位,$n^2$ の位,$n^1$ の位,$n^0$,$\frac{1}{n^1}$ の位,$\frac{1}{n^2}$ の位,$\frac{1}{n^3}$ の位,……

 

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2進法の四則計算

2進法の四則計算では,次の計算が基本となる。

  • 足し算:$0+0=0$,$0+1=1$,$1+0=1$,$1+1=10$
  • 引き算:$0-0=0$,$1-0=1$,$1-1=0$,$10-1=1$
  • 掛け算:$0 \times 0=0$,$0 \times 1=0$,$1 \times 0=0$,$1 \times 1=1$

2進法の割り算は,10進法の割り算と同様に,掛け算と引き算を組み合わせて行う。

 

 

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