【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学A – 三角形のいろいろな定理

【定理】

チェバの定理

$\triangle \mathrm{ABC}$ の3頂点 $\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$ と,三角形の辺上にもその延長上にもない点 $\mathrm{O}$ を結ぶ直線が,辺 $\mathrm{BC}$,$\mathrm{CA}$,$\mathrm{AB}$ またはその延長と交わるとき,交点をそれぞれ $\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$ とすると

$\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} \cdot \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} =1$

 

チェバの定理の逆

$\triangle \mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{BC}$,$\mathrm{CA}$,$\mathrm{AB}$ またはその延長上にそれぞれ点 $\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$ があり,この3点のうちの1個または3個が辺上にあるとする。このとき,$\mathrm{BQ}$ と $\mathrm{CR}$ が交わり,かつ

$\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} \cdot \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} =1$

が成り立つならば,3直線 $\mathrm{AP}$,$\mathrm{BQ}$,$\mathrm{CR}$ は1点で交わる。

 

メネラウスの定理

$\triangle \mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{BC}$,$\mathrm{CA}$,$\mathrm{AB}$ またはその延長が,三角形の頂点を通らない1つの直線とそれぞれ点 $\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$ で交わるとき

$\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} \cdot \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} =1$

 

メネラウスの定理の逆

$\triangle \mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{BC}$,$\mathrm{CA}$,$\mathrm{AB}$ またはその延長上に,それぞれ点 $\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$ があり,この3点のうちの1個または3個が辺の延長上にあるとする。このとき

$\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \cdot \frac{\mathrm{CQ}}{\mathrm{QA}} \cdot \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} =1$

が成り立つならば,3点 $\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$ は1つの直線上にある。

 

三角形の3辺の長さの性質

1つの三角形において

  • 2辺の長さの和は,他の1辺の長さより大きい
  • 2辺の長さの差は,他の1辺の長さより小さい。

 

三角形の成立条件

正の数 $a$,$b$,$c$ に対して

$|b-c|<a<b+c \Leftrightarrow 3辺の長さがa,b,c である三角形が存在する

 

三角形の辺と角の大小関係

1つの三角形において

  • 大きい辺に向かい合う角は,小さい辺に向かい合う各より大きい。
  • 大きい角に向かい合う辺は,小さい角に向かい合う辺より大きい。

すなわち $\mathrm{AB} < \mathrm{AC} \Leftrightarrow \angle \mathrm{C} < \angle \mathrm{B}$

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