【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学Ⅲ – 方程式・不等式への応用

不等式 $f(x)>g(x)$ の証明

$F(x)=f(x)-g(x)$ とし，$F(x)$ の増減を調べて $F(x)>0$ を証明する。

• $\{F(x) の最小値\}>0$ を示す。
• $F(x)$ が常に増加かつ $F(a)\geqq 0$ $\Rightarrow$ $x>a$ において $F(x)>0$

方程式の実数解とグラフ

• $f(x)=0$ の実数解 $\Leftrightarrow$ 曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=0$ ( $x$ 軸)の共有点の $x$ 座標
• $f(x)=a$ の実数解 $\Leftrightarrow$ 曲線 $y=f(x)$ と直線 $y=a$ の共有点の $x$ 座標
• $f(x)=g(x)$ の実数解  $\Leftrightarrow$ 2曲線 $y=f(x)$，$y=g(x)$ の共有点の $x$ 座標 $\Leftrightarrow$ $F(x)=f(x)-g(x)$ とするとき，曲線 $y=F(x)$ と $x$ 軸の共有点の $x$ 座標

方程式の実数解の個数

$f(x)$ が閉区間 $[a,b]$ で連続，かつ，$f(a)f(b)<0$ $\Rightarrow$ 方程式 $f(x)=0$ は $a<x<b$ の範囲に少なくとも1つの実数解をもつ (逆は不成立)

$f(x)$ が閉区間 $[a,b]$ で連続，かつ，$f(a)f(b)<0$，かつ，$f(x)$ が常に増加，または，減少 $\Rightarrow$ 方程式 $f(x)=0$ は $a<x<b$ の範囲にただ1つの実数解をもつ (逆は不成立)