【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学Ⅲ – 分数関数・無理関数

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分数関数とそのグラフ

$\boldsymbol{y=\displaystyle\frac{k}{x}}$ のグラフ

  • $x$ 軸,$y$ 軸を漸近線とする直角双曲線。
  • $k>0$ ならば第1,3象限,$k<0$ ならば第2,4象限にそれぞれ存在する。
  • 原点に関して対称。
  • 定義域は $x\neq 0$,値域は $y\neq 0$

$\boldsymbol{y=\displaystyle\frac{k}{x-p}+q}$ のグラフ

  • 分数関数の基本形
  • $y=\frac{k}{x}$ のグラフを,$x$ 軸方向に $p$,$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した直角双曲線。
  • 漸近線は2直線 $x=p$,$y=q$
  • 定義域は $x\neq p$,値域は $y\neq q$

$\boldsymbol{y=\displaystyle\frac{ax+b}{cx+d}}$ のグラフ

  • 基本形の形に変形する

 

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無理関数とそのグラフ

$a$ は $0$ でない定数とする。

$\boldsymbol{y=\pm\sqrt{ax}}$ のグラフ

 $y=\sqrt{ax}$$y=-\sqrt{ax}$
$a$ の符号$a>0$$a<0$$a>0$$a<0$
頂点原点
$x$ 軸
放物線の半分
存在範囲第1象限および原点第2象限および原点第4象限および原点第3象限および原点
定義域$x\geqq 0$$x\leqq 0$$x\geqq 0$$x\leqq 0$
値域$y\geqq 0$$y\geqq 0$$y\leqq 0$$y\leqq 0$
増減増加関数減少関数減少関数増加関数

$\boldsymbol{y=\pm\sqrt{a(x-p)}+q}$ のグラフ

$y=\pm\sqrt{ax}$ のグラフを$x$ 軸方向に $p$,$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した放物線の半分。

 $y=\sqrt{a(x-p)}+q$$y=-\sqrt{a(x-p)}+q$
$a$ の符号$a>0$$a<0$$a>0$$a<0$
頂点$(p,q)$
直線 $x=p$
放物線の半分
定義域$x\geqq p$$x\leqq p$$x\geqq p$$x\leqq p$
値域$y\geqq q$$y\geqq q$$y\leqq q$$y\leqq q$
増減増加関数減少関数減少関数増加関数

$\boldsymbol{y=\pm\sqrt{ax+b}+c}$ のグラフ

$y=\pm\sqrt{a(x-p)}+q$ の形に変形する。

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