【定義・定理・公式】高校数学基本事項 – 数学Ⅰ – 実数

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実数

実数の分類

【定義】

有理数:実数のうち,整数か分数の形で表せる数

無理数:実数のうち,整数か分数の形で表せない数

循環節:循環小数において繰り返される数字の列

※循環小数は,循環節の最初と最後の数字の上に・をつけて表す。

 

数の範囲と四則

自然数の範囲では減法と除法が,整数の範囲では除法が,必ずしも可能ではない。

※整数同士の商が整数とは限らない

有理数や実数の範囲では四則計算が可能。

※2つの有理数の和,差,積,商は常に有理数であり,2つの実数の和,差,積,商は常に実数

※除法では,0で割ることは考えないものとする。

 

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数直線と絶対値

実数と数直線

【定義】

数直線:直線上に基準となる点 $\mathrm{O}$ をとって数0を対応させ,その点の両側に目盛りをつけた直線

原点:数直線における点 $\mathrm{O}$

※数直線では,1つの実数に1つの点が対応している。

※数直線上で,点 $\mathrm{P}$ に実数 $a$ が対応しているとき,$a$ を点 $\mathrm{P}$ の座標といい,座標が $a$ である点 $\mathrm{P}$ を $\mathrm{P} (a)$ で表す。

※実数の大小関係は,数直線上では点の左右の位置関係で表される。

 

絶対値

【定義】

絶対値 $\boldsymbol{|a|}$ :原点 $\mathrm{O} (0)$ と点 $\mathrm{P} (a)$ の距離

$|a|= \left \{ \begin{array}{cl} a & (a \geqq 0 のとき) \\ -a & (a<0 のとき) \end{array} \right.$

 

2点間の距離

【定義】

2点 $\mathrm{P} (a)$,$\mathrm{Q} (b)$ の距離:$|b-a|$

 

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平方根

【定義】

$a$ の平方根:2乗して $a$ になる数

※$a>0$ のとき,$a$ の平方根は正と負の2つあり,そのうち正の数を $\sqrt{a}$,負の数を$- \sqrt{a}$ で表す。$a=0$ のとき,$\sqrt{a}=0$。

【定理】

$a \geqq 0$ のとき,

$( \sqrt{a} )^2=a$

$\sqrt{a} \geqq 0$

$\sqrt{a^2} =|a|= \left \{ \begin{array}{cl} a & (a \geqq 0 のとき) \\ -a & (a<0 のとき) \end{array} \right.$

$a>0$,$b>0$,$k>0$ のとき,

$\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$

$\displaystyle{ \frac{ \sqrt{a}}{ \sqrt{b}} = \sqrt{ \frac{a}{b}}}$

$\sqrt{k^2a} =k \sqrt{a}$

 

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平方根の近似値

  • $\sqrt{2} =1.41421356$……
    ひとよひとよにひとみごろ(ひと夜ひと夜に人見ごろ)
  • $\sqrt{3} =1.7320508$……
    ひとなみにおごれや(人並みにおごれや)
  • $\sqrt{5} =2.2360679$……
    ふじさんろくおーむなく(富士山麓オーム鳴く)
  • $\sqrt{7} =2.6457513$……
    なにむしいないいさん(菜に虫いない遺産)

 

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2重根号

【定理】

$a>0$,$b>0$ のとき,

$\sqrt{(a+b)+2 \sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$

$a>b>0$ のとき,

$\sqrt{(a+b)-2 \sqrt{ab}} = \sqrt{a}- \sqrt{b}$

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