微分係数と導関数
【定義】
微分係数
関数 $f(x)$ の $x=a$ における微分係数 $\boldsymbol{f'(a)}$ は
$f'(a)= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$
$\boldsymbol{x=a}$ で連続
関数 $f(x)$ が $x=a$ で微分可能ならば，$f(x)$ は $\boldsymbol{x=a}$ で連続である。(逆は不成立)
導関数
関数 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ は
$f'(x)= \displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$
導関数の公式
【定理】
関数 $f(x)$，$g(x)$ は微分可能であり，$k$，$l$ を定数とする。
導関数の性質
- 定数倍：$\{kf(x)\}’=kf'(x)$
- 和：$\{f(x)+g(x)\}’=f'(x)+g'(x)$
- 差：$\{f(x)-g(x)\}’=f'(x)-g'(x)$
- $\{kf(x)+lg(x)\}’=kf'(x)+lg'(x)$
積の導関数
- $\{f(x)g(x)\}=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
商の導関数
- $\displaystyle{\left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}}$
- $\displaystyle{\left\{\frac{1}{g(x)}\right\}’=-\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}}$
合成関数の導関数
$y=f(u)$ が $u$ の関数として微分可能，$u=g(x)$ が $x$ の関数として微分可能であるとき
- $\displaystyle{\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}}$ すなわち $\{f(g(x))\}’=f'(g(x))g'(x)$
特に，$a$，$b$ を定数，$n$ を整数とすると
- $\{f(ax+b)\}’=af'(ax+b)$
- $[\{f(x)\}^n]’=n\{f(x)\}^{n-1}f'(x)$
逆関数の導関数
- $\displaystyle{\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}}$
$\boldsymbol{x^p}$ の導関数
$p$ が有理数のとき
- $(x^p)’=px^{p-1}$