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【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学A – 最大公約数と最小公倍数の関係

最大公約数と最小公倍数の関係

2つの整数 $a,b$ の最大公約数を $G$ ，最小公倍数を $L$ とすると，整数 $a',b'$ を用いて $a=Ga' , b=Gb'$ と表せ，

[Ⅰ] a′a' と b′b' は互いに素

[Ⅱ] L=Ga′b′L=Ga'b'

[Ⅲ] ab=GLab=GL

が成り立つ。

証明

[Ⅰ] a,ba,b は，最大公約数 GG と整数 a′,b′a',b' を用いて a=Ga′,b=Gb′a=Ga',b=Gb' と表せる。ここで， a′,b′a',b' が共通の素因数 pp ( p≧2p \geqq 2 )を持つとすると， a,ba,b はともに pGpG の倍数となるから，最大公約数が GG より大きくなり矛盾。よって， a′,b′a',b' は互いに素な整数である。

[Ⅱ] a,ba,b の公倍数を ll とすると， ll は aa の倍数であり， bb の倍数でもあるから， la,lb\displaystyle \frac{l}{a} , \frac{l}{b} すなわち lGa′,lGb′\displaystyle \frac{l}{Ga'} , \frac{l}{Gb'} は整数である。これより， ll は G,a′,b′G,a',b' を因数に持つ。よって， a,ba,b の最小公倍数 LL は G,a′,b′G,a',b' を因数に持つ最小の正の整数であるから， L=Ga′b′L=Ga'b' である。

[Ⅲ] [Ⅱ]を用いると， ab=Ga′⋅Gb′=G⋅(Ga′b′)=GLab=Ga' \cdot Gb'=G \cdot (Ga'b')=GL