【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学A – 素因数分解と最小公倍数，最大公約数

素因数分解と最小公倍数，最大公約数

2つの正の整数 $a,b$ の最大公約数 $G$ と最小公倍数 $L$ を求めるときは，

[Ⅰ] 筆算を利用する。

[Ⅱ] $a,b$ をそれぞれ素因数分解し，各素因数ごとに比較する。

$G$ ＝(共通の素因数において指数が最小であるもの同士の積)

$L$ ＝(少なくとも一方に含まれる素因数において指数が最大であるもの同士の積)

説明

[Ⅰ] $90$ と $72$ の最大公約数 $G$ ，最小公倍数 $L$ は，右のような筆算を用いて求めることができる。

$G=2 \cdot 3 \cdot 3 =18$ ， $L=2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 4 =360$

[Ⅱ] また， $G,L$ は素因数分解を利用して求めることもできる。

$90,72$ をそれぞれ素因数分解すると，次のようになる。

$90=2^1 \cdot 3^3 \cdot 5^2$ ， $72=2^3 \cdot 3^2$

(ただし2数に共通な素因数については，各素因数ごとに比較したときの指数の最小値を〇，最大値を△とし，一方のみにしかない素因数については，その指数を△とした。)

$90$ と $72$ の公約数を $m$ とすると， $\displaystyle \frac{90}{m} , \frac{72}{m}$ は整数である。ここで， $\displaystyle \frac{90}{2^1 \cdot 3^2} =5 , \frac{72}{2^1 \cdot 3^2} =4$ であるから， $2^1 \cdot 3^2= 18$ は2数の公約数であり， $5$ と $4$ は互いに素なので，これ以上共通の素数で割ることはできない。よって， $G=2^1 \cdot 3^2 =18$ である。

また， $90$ と $72$ の公倍数を $l$ とすると， $\displaystyle \frac{l}{90} , \frac{l}{72}$ すなわち， $\displaystyle \frac{l}{2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1} , \frac{l}{2^3 \cdot 3^2}$ は整数である。したがって，2数の分母を比較すると， $l$ は少なくとも $2^3 , 3^2 , 5^1$ を因数に持つことがわかるから， $L= 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^1 =360$ である。