【定理・公式・証明】高校数学定理・公式 – 数学A – 一次不定方程式 $ax+by=1$

【発展】一次不定方程式 $ax+by=1$ の解

$a$ と $b$ が互いに素な整数であるとき， $ax+by=1$ を満たす整数の組 $(x,y)$ は，無数に存在する。

説明

まず， $a,b$ を自然数とし，方程式 $ax+by=0$ …① の解が少なくとも1つは存在することを示す。

$b=1$ のとき，①は $\displaystyle x= \frac{1-y}{a}$ となる。例えば， $y=a+1$ とすると

$\displaystyle x= \frac{1-(a+1)}{a} =-1$ であるから， $(x,y)=(-1,a+1)$ は①の解であり，①の解は少なくとも1つは存在する。

$b \geqq 2$ のとき， $a$ と $b$ がお互いに素であることから，フェルマーの小定理の準備①において示したことより，

$a,2a,3a, \cdots ,ba$

を $b$ で割った余りはすべて異なる。 $ba$ を $b$ で割った余りは0であるから， $x_{1} a$ を $b$ で割った余りが1となるような整数 $x_{1} (1 \leqq x_{1} \leqq b-1$ が必ず存在し，整数 $q$ を用いて，

$x_{1} a=bq+1$

と表せる。ここで，整数 $y_{1}$ を用いて $q=-y_{1}$ とおくと，②は

$x_{1} a=b(-y_{1} ) +1$

$ax_{1} +by_{1} =1$

したがって， $(x,y)=(x_{1} ,y_{1})$ は，方程式 $ax+by=1$ の解の1つである。

また， $a,b$ が負の整数である場合も，方程式 $ax+by=1$ の解 $(x,y)$ は必ず存在する。例えば， $a=3,y=5$ として， $3x+5y=1$ の整数解 $(x_{1} ,y_{1})$ が見つかったとする。このとき， $3x_{1} +5y_{1}=1$ より， $3x_{1} -5(-y_{1} )=1$ であるから，

$(x,y)=(x_{1} -y{1} )$ は $3x-5y=1$ の解である。

次に，方程式 $ax+by=1$ の解は無限に存在することについて説明する。

例えば， $b \gt 0,a \lt 0$ とすると，直線 $ax+by=1$ すなわち $\displaystyle y= - \frac{a}{b} x + \frac{1}{b}$ (傾き $\displaystyle - \frac{a}{b} \gt 0$ )は上図のようになる。この直線上の点において， $x$ 座標が $b$ だけ増えると， $y$ 座標が $-a( \gt 0)$ 増えるから， $(x_{1} +b,y_{1} -a)$ もまた直線上の点である。

これを図のように繰り返すと， $(x,y)=(x_{1} +kb,y_{1} -ka)$ ( $k$ は整数)はすべて直線 $ax+by=1$ 上の点であり， $a(x_{1} +kb)+b(y_{1} -ka) =1$ をみたす。

よって，方程式 $ax+by=1$ の解は無限に存在する。

【発展】一次不定方程式 ax+by=1ax+by=1ax+by=1 の解

【発展】一次不定方程式 $ax+by=1$ の解